Probabilidad de que algo no ocurra

Question

Continuando con la probabilidad de auto-estudio,

Problema:

Hay 16 tropas del ejército que deben proteger 8 torres petrolíferas (numeradas de la A a la H). Han perdido el contacto entre sí. Supongamos que cada tropa del ejército tiene la misma probabilidad de proteger cualquiera de las torres.

Evento B: ¿Cuál es la probabilidad de exactamente 2 de las torres permanecerán sin tropas del ejército que las protejan.

Solución intentada:

Intento resolver el problema utilizando estos heurísticos recientemente adquiridos y mi intento de solución es éste:

$ \binom{2}{0} * \frac{\binom{16}{6}}{\binom{16}{8}} = 0,62$

Significa tomar 0 de 2 torres y meter las 16 tropas en las 6 torres restantes, pero estoy bastante seguro de que me equivoco (prob = 0,62 que parece un poco más alto de lo esperado).

Answer 1

Existen $8^{16}$ posibles acuerdos. Ahora debemos averiguar cuántas de ellas son tales que exactamente dos están vacías. Supongamos que A y B están vacíos. Entonces hay $6^{16}$ de los soldados, pero algunos de ellos tienen otras torres de petróleo vacías. Utilizamos el principio de inclusión-exclusión: $\displaystyle\Big[6^{16}- \binom{6}{1}5^{16}+\binom{6}{2}4^{16}-\bigg(\binom{3}{2}-1\bigg)\binom{6}{3}3^{16}+\bigg(\binom{4}{3}-1\bigg)\binom{6}{4}2^{16}-\bigg(\binom{5}{4}-1\bigg)\binom{6}{5}1^{16}\Big].$

Para obtener la respuesta final, hay que multiplicarla por el número de formas de elegir $2$ de $8$ y divídalo por el número total de opciones:

$\displaystyle\frac{\binom{8}{2}}{8^{16}}\Big[6^{16}- \binom{6}{1}5^{16}+\binom{6}{2}4^{16}-2\binom{6}{3}3^{16}+3\binom{6}{4}2^{16}-4\binom{6}{5}1^{16}\Big]\approx \frac{1}{5}.$