¿Cómo es que esta derivación de una fórmula geométrica/cuadrática para una cónica, tiene un múltiplo de 4 en ella?

Question

Aquí está un diagrama de un viejo libro que estoy revisando:

Lo que no soy capaz de entender es cómo $XG^2 = 4(AB.BG)$

Esto es lo que se da sobre la construcción:

$AX = AQ = MG$ y $BG = BQ$

$\square(ABEF)$ es un cuadrado y también lo es $\square(ARSK)$ donde $AK = 2.AF$

$G$ es cualquier punto entre $A$ y $B$ y $MG$ es perpendicular a $AB$

Teniendo esto en cuenta, ¿cómo se consigue:

$XG^2 = 4(AB.BG)$ ?

Lo he probado de varias maneras y he sustituido muchas cosas, pero parece que me estoy perdiendo algo obvio tal vez.

Así es como se presenta el manuscrito:

De algún modo, concluye la relación sin aclarar realmente de dónde procede. Parece una media proporcional (es decir, una media geométrica) disfrazada, pero no se sabe de dónde procede.

PS: No un problema de deberes. Curiosidad puramente recreativa.

Answer 1

Aquí hay una solución de un círculo. (Ver el historial de edición para una alternativa).

$$|\overline{GX}|^2 = |\overline{QG}||\overline{Q^\prime G}| = 2a \cdot 2(a+b)= 4 \; |\overline{BG}||\overline{AB}|$$