Pregunta acerca de la implicación

Question

Tengo duda acerca de algo que no entiendo.

$\alpha$, $\beta$, y $\gamma$ son declaraciones.

si $\alpha\implies\beta\lor\gamma$, entonces es necesario que $\alpha\implies\beta$ o $\alpha\implies\gamma$. la respuesta es "no", pero no puedo entender por qué.

si se da ese $\alpha\implies\beta\lor\gamma$, entonces esto significa que cuando se $\alpha$ es true, entonces la $\beta\lor\gamma$ también debe ser verdad lo que significa que cualquiera de las $\beta$ es verdadero o $\gamma$ es cierto. así que eso significa que $\alpha\implies\beta$ o $\alpha\implies\gamma$, ¿no? porque el único caso en el que podría ser que no es verdad es al $\alpha$ es verdadero, $\beta$ es falso y también a $\gamma$ es falso.

Así que yo no puedo entender por qué la respuesta a esta pregunta es "no". Espero que alguien lo pueda explicar.

Gracias. (P. S. lo siento por mi mala inglés).

Answer 1

1. Poner $\alpha = (P \lor Q)$, $\beta = P$, $\gamma = Q$. A continuación,$\alpha \vDash \beta \lor \gamma$, trivialmente, pero ni $\alpha \vDash \beta$ ni $\alpha \vDash \gamma$ (donde '$\vDash$' como de costumbre indica que la lógica de vinculación, y $P$, $Q$ son contingentes). Así que el principio de falla cuando se $\Rightarrow$ es leer como $\vDash$, es decir, como lógica de la implicación. (Exactamente del mismo modo, si es que se lea como $\vdash$, deducibility en un determinado sistema a prueba.)

2. Supongamos ni $\alpha \supset \beta$ ni $\alpha \supset \gamma$ (donde '$\supset$' es el material condicional). Entonces, tendríamos que tener $\alpha$ cierto y tanto $\beta$ $\gamma$ falso, y, por tanto, $\alpha \supset \beta \lor \gamma$ sería falsa. Contraposing, necesariamente, si $\alpha \supset \beta \lor \gamma$ es verdadera, por lo que es uno de los $\alpha \supset \beta$$\alpha \supset \gamma$. Así que el principio, de hecho, tiene al $\Rightarrow$ es leer como el material condicional (y la necesidad de amplio alcance).

Así que, fundamentalmente, debe ser claro acerca de la lectura que se supone que deben dar a $\Rightarrow$ que (por desgracia) se utiliza de diferentes maneras en diferentes textos.

Answer 2

Esta respuesta está estrechamente relacionado con Peter Smith, pero de una forma un tanto diferente punto de vista, tratando de mostrar lo que es común a los ejemplos en las diferentes respuestas.

Note primero que, como Pedro señaló en la segunda parte de su respuesta, $\alpha\implies(\beta\lor\gamma)$ es tautologically equivalente a $(\alpha\implies\beta)\lor(\alpha\implies\gamma)$. Las cosas empiezan a ir mal cuando estas fórmulas se ponen en un contexto en el que de manera explícita o implícitamente implica un cuantificador universal y uno intenta distribuir este cuantificador a través de la $\lor$ conectivo.

Por lo tanto, en Alex Kruckmnan del ejemplo, tenemos $$ \forall n\,[(n\text{ es un número natural}\implica n\text{ es aún})\lor (n\text{ es un número natural}\implica n\text{ es impar})], $$ pero no podemos deducir $$ [\forall n\,(n\text{ es un número natural}\implica n\text{ es aún})]\lor [\forall n\,(n\text{ es un número natural}\implica n\text{ es aún})]. $$

Del mismo modo, en Nathan Smith ejemplo, el problema surge desde el cuantificador universal implícito en "necesariamente", que significa "en todas las situaciones posibles". En virtud de la indicada hipótesis, es cierto que "necesariamente, [si hay tráfico, entonces es la hora punta de la mañana o si no hay tráfico, entonces es la hora pico de la tarde]", pero no es cierto que "[necesariamente, si no hay tráfico, entonces es la hora punta de la mañana] o [necesariamente, si no hay tráfico, entonces es la hora pico de la tarde]".

Del mismo modo, en el primer párrafo de Peter Smith respuesta, la noción de validez lógico incluye un implícito el cuantificador universal "para todos la verdad de trabajos" y el problema surge de intentar distribuir este cuantificador más de una disyunción.

Answer 3

Considere las siguientes declaraciones:

$\alpha$: $n$ es un número natural.

$\beta$: $n$ es incluso.

$\gamma$: $n$ es impar.

Ciertamente,$\alpha\implies \beta\lor\gamma$, ya que si $n$ es un número natural, $n$ es par o $n$ es impar.

Pero no tenemos $\alpha \implies \beta$ o $\alpha \implies \gamma$, ya que no todo número natural es par y no cada número natural es un número impar.

Answer 4

Mi resumen de las dos interpretaciones de su pregunta:

Es $(a \Rightarrow (b \vee c)) \Rightarrow ((a \Rightarrow b) \vee (a \Rightarrow c))$ una tautología?

Sí.

Si $a \vdash b \vee c$ entonces $ a \vdash b$ o $a \vdash c$?

No.

Answer 5

Ok. Sólo un ejemplo:

Si hay tráfico que implica es la hora punta de la mañana o en la hora pico de la tarde.

Lo que esta declaración dice que si hay tráfico, podría ser por la mañana o por la tarde.... pero no necesariamente.

Así que las declaraciones

el tráfico implica es la mañana o de tráfico que implica que la noche no son verdad.