Si $a<g(x)<x$ en el intervalo $(a,b)$ ¿por qué $g$ (pregunta GRE)

Question

Tengo la siguiente pregunta GRE que tengo algunos problemas para ver.

Si $g$ es una función definida en el intervalo abierto $(a,b)$ tal que $a < g(x) < x$ para todos $x \in (a,b)$ entonces $g$ es

A) una función no limitada

B) una función no constante

C) una función no negativa

D) una función estrictamente creciente

E) una función polinómica degee 1

Respondí que D), porque pensé que podía tomar la derivada de la desigualdad $a < g(x) < x$ y obtener $0< g'(x)<1$ mostrando que la ecuación es estrictamente creciente. Sin embargo, la respuesta dice que debería ser B) y realmente no veo cómo han llegado a esta conclusión. ¿Alguien podría ayudarme con este problema? Gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos que $g(x) = c $ es constante. Que $a < c < x$ para todos $x\in (a,b)$ . Pero debe haber algún $y \in (a,c)$ . $a < y < c=f(y)$ . Una contradicción.

Así que $g$ no es constante

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Cabe señalar que para $g(x) \not \in (a,b)$ podemos tener $g(x)$ hacer nada. Así que C,D, E no son respuestas posibles. A) y B) sólo son posibles si se "obligan" a ser ilimitadas o no constantes en $(a,b)$ . Para A) $g(x)$ en realidad está obligado a estar acotado, por lo que A) no es correcto.

También cabe señalar $g(x)$ no tiene por qué aumentar en $(a,b)$ puede rebotar todo lo que quiera en $a < f(x) < x$ .

Answer 2

Si $x \gt g(x)$ = $c \gt a$ donde $c$ es constante, que $\exists y$ $\in$ (a,b), tal que $y \lt c$ . Por lo tanto, $g(y) $ = $c \gt y$ .

Answer 3

La diferenciación no es monótona, a diferencia de la integración.

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