si $P \implies Q$ ¿por qué $\bar{Q} \implies \bar{P}$

Question

Hace poco empecé a leer el libro: Una introducción concisa a las Matemáticas Puras. Hasta ahora me está gustando, pero por desgracia me he topado con algo que no acabo de entender.

Sean P,Q enunciados matemáticos tales que

$$ P \implies Q $$ se afirma a continuación que, si éste es el caso, entonces $$ \bar{Q} \implies \bar{P} $$

Por la forma en que lo describen en el libro, hacen que parezca que esta última implicación es bastante obvia. Sin embargo, no entiendo por qué...

Answer 1

Estas dos afirmaciones compuestas $P\implies Q$ y $\bar{Q}\implies \bar{P}$ son de hecho equivalentes. Una manera fácil de ver esto es notar que tienen tablas de verdad idénticas. A saber:

• $P=\mbox{true}$ , $Q=\mbox{true}$ ambas afirmaciones compuestas son verdaderas.
• $P=\mbox{true}$ , $Q=\mbox{false}$ ambas afirmaciones compuestas son falsas.
• $P=\mbox{false}$ , $Q=\mbox{true}$ ambas afirmaciones compuestas son verdaderas.
• $P=\mbox{false}$ , $Q=\mbox{false}$ ambas afirmaciones compuestas son verdaderas.

Answer 2

$$A\implies B\quad\equiv\quad\lnot A\lor B$$ Dejando $A=\lnot Q$ y $B=\lnot P$ por la definición anterior tenemos $$\lnot Q\implies\lnot P\quad\equiv\quad\lnot(\lnot Q)\lor\lnot P\quad\equiv\quad\lnot P\lor Q$$ que satisface entonces que $P\implies Q$ .

Answer 3

De otro modo, podemos suponer que: $\lnot(\bar{Q}\implies \bar{P})$

Por lo tanto, podemos deducir que: $\;\bar{Q} \land \lnot \bar{P}$ que equivale a $\bar{Q} \land P\;$ lo que implica $Q$ (porque $P\implies Q$ ). Y tenemos que $Q\land\bar Q$ . Contradicción.

Answer 4

Me gusta pensar que las declaraciones son como pequeñas bombillas. Digamos que tienes dos bombillas delante. P es la de la izquierda y Q es la de la derecha. P $\implies$ Q significa que siempre que la luz de la izquierda esté encendida, la de la derecha también lo estará. La de la derecha puede estar encendida cuando la de la izquierda está apagada, pero cuando la de la izquierda está encendida, también lo está la de la derecha. Veamos ahora el contrapositivo. Si la derecha está apagada, la izquierda también lo está, porque si la izquierda estuviera encendida, la derecha también lo estaría.