¿Es esta 2-forma diferencial cerrada

Question

Consideremos una esfera unitaria $S^2 \subset R^3$ y un mapa $\omega_p : T_pS^2 \times T_pS^2 \to \mathbb{R}$ definido por

$$\omega_p(u,v) = (u \times v) \cdot p$$

¿Cómo sé si esta forma 2 (en $S^2$ ) cerrado y exacto?

Lo que he hecho hasta ahora es parametrizar $S^2$ por

$$p = (\sin\theta\cdot\cos\phi,\sin\theta\cdot\sin\phi,\cos\theta)$$

Y, $u = \partial /\partial\theta$ y $v = \partial /\partial\phi$

Por lo tanto $\omega_p(u,v) = \sin\theta \cdot d\theta \wedge d\phi$

Entonces, ¿cómo calculo $d\omega$ ? Y para exacto, debo encontrar (o mostrar no tal) $f\in \Omega^1(S^2)$ tal que $\omega = df$ ?

Answer 1

Depuis $S^2$ es bidimensional por lo que es cerrado

Y $dxdydz$ es el volumen para ${\bf R}^3$ entonces $$a=i_N dxdydz$$ es el volumen para $S^2$ donde $N=p$ es la unidad normal. Si $e_i$ es un marco ortonormal para $T_p S^2$ entonces $$a(e_1,e_2)=i_N dxdydz (e_1,e_2)=(p\times e_1)\cdot e_2 = e_1\times e_2\cdot p=\omega (e_1,e_2)$$

Por lo tanto $\omega$ es el volumen para $S^2$ de modo que si $\omega$ es exacta, es decir $db=\omega$ , $$4\pi=\int_{S^2} \omega =\int_{\partial S^2} b= 0$$

Por lo tanto, no es exacto