Normalizador del subgrupo de traslación en el grupo de homeomorfismos

Question

Edición: ¿Podría alguien comprobar mi solución a continuación, para que pueda aceptar la respuesta y completar este post. Gracias.

Quiero encontrar todos los homeomorfismos $g :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ para lo cual $$g\circ H \circ g^{-1} = H$$ donde $H$ es el subgrupo de traslación. Dado $\tau_t (x) = x-t$ queremos $$g\circ\tau_t\circ g^{-1} = \tau_h$$ para algunos $\tau_h \in H$ . Escribirlo explícitamente $$g(g^{-1}(x) - t) = x-h$$ esto implica $$g^{-1}(x) - t = g^{-1}(x-h)$$ pero no pude encontrar la manera de encontrar todas las posibles soluciones de esta ecuación funcional.

También conozco el subgrupo de todas las funciones afines $ax+b$ sin duda funcionará. Para fijos $t$ , $h$ existen soluciones a la ecuación funcional anterior que no están en $ax+b$ forma. Pero creo que esto no será un problema ya que esas soluciones no funcionarán si variamos $t$ .

Answer 1

La clave es que todos continuo automorfismos del grupo topológico $({\mathbb R}, +)$ son lineales. (Esto es falso para automorfismos arbitrarios, por supuesto.) Demostrar este lema es un buen ejercicio. (Sugerencia: Primero considere los automorfismos del grupo de los números racionales.) Utilice este lema para el automorfismo continuo de ${\mathbb R}$ dada por conjugación mediante $g\in N({\mathbb R})$ . A continuación, para cada $g\in N({\mathbb R})$ existe $a\ne 0$ tal que para cada $x, t\in {\mathbb R}$ tenemos $$ g^{-1}(x+t)- g^{-1}(x)= at. $$ De ello se deduce que $h=g^{-1}$ tiene derivada igual a $a$ en cada $x\in {\mathbb R}$ de lo que se deduce que $g(x)= a^{-1}x + b$ donde $b$ es constante.

Answer 2

Dado $T:= \{\tau_r: r\in \mathbb{R}\}$ mostraremos primero que cada normalizador define un automorfismo continuo en $\mathbb{R}$ .

Danos $g\in N(T)$ defina el mapa $G:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ por $G(r) = h$ donde $h$ es el subíndice $g\tau_r g^{-1} = \tau_h$ .

1. $G$ está bien definida, ya que cada $r$ da un $\tau_r$
2. $G$ es onto, dado $l\in \mathbb{R}$ , han $g^{-1}\tau_l g = \tau_r$ así $G(r) = l$
3. $G$ es uno a uno ya que si $r_1\neq r_2 \Longrightarrow \tau_{r_1} \neq \tau_{r_2} \Longrightarrow g\tau_{r_1} g^{-1} \neq g\tau_{r_2}g^{-1}$
4. $G$ es un homomorfismo ya que $\tau_{G(r+l)} = g\tau_{r+l} g^{-1} = g\tau_r \tau_lg^{-1}=g\tau_r g^{-1}g \tau_lg^{-1} = \tau_{G(r)}\tau_{G(l)} = \tau_{G(r)+ G(l)}$
5. $G$ es continua, ya que dado $r_n \rightarrow r$ tenemos $\tau_{G(r_n)} = g\tau_{r_n} g^{-1} = g(g^{-1}(x)+r_n) \rightarrow g(g^{-1}(x)+r) = g\tau_{r} g^{-1} = \tau_{G(r)}$ porque $g$ es continua.

Ahora mostraremos todos los automorfismos continuos en $\mathbb{R}$ es una función lineal, observe que para cada número racional, tenemos $$G(p/q) = p G(1/q) = (p/q) q G(1/q) = p/qG(1)$$ por continuidad, tiene que ser una función lineal sobre $\mathbb{R}$ .

Ahora bien $G(r) = ar$ nos remontamos a lo que $g$ podría ser. Dado $$g\tau_{r}g^{-1} = \tau_{ar}$$ esto implica $$g^{-1}(x) + r = g^{-1}(x+ar) $$ o $$g^{-1}(x+l) - g^{-1}(x) = l/a$$ dividir por $l$ y enviar $l$ a cero tenemos la derivada de $g^{-1}$ es $1/a$ en absoluto $x$ y, por lo tanto $g = ax+b$ para alguna constante $b$ .