Edición: ¿Podría alguien comprobar mi solución a continuación, para que pueda aceptar la respuesta y completar este post. Gracias.
Quiero encontrar todos los homeomorfismos $g :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ para lo cual $$g\circ H \circ g^{-1} = H$$ donde $H$ es el subgrupo de traslación. Dado $\tau_t (x) = x-t$ queremos $$g\circ\tau_t\circ g^{-1} = \tau_h$$ para algunos $\tau_h \in H$ . Escribirlo explícitamente $$g(g^{-1}(x) - t) = x-h$$ esto implica $$g^{-1}(x) - t = g^{-1}(x-h)$$ pero no pude encontrar la manera de encontrar todas las posibles soluciones de esta ecuación funcional.
También conozco el subgrupo de todas las funciones afines $ax+b$ sin duda funcionará. Para fijos $t$ , $h$ existen soluciones a la ecuación funcional anterior que no están en $ax+b$ forma. Pero creo que esto no será un problema ya que esas soluciones no funcionarán si variamos $t$ .