Supongamos que tengo un sistema completamente integrable en una variedad simpléctica $(M^{2n},\omega)$ con mapa de impulso $H:M \rightarrow \mathbb{R}^n$ que tiene fibras compactas y conectadas. Además, supongamos que sé que el conjunto de valores regulares no es simplemente conexo.
Pregunta ¿Cómo podemos calcular la monodromía de este sistema sin calcular las coordenadas locales del ángulo de acción o la red de periodos? ¿O simplemente detectar si no es trivial?
La única forma que conozco de hacerlo es calcular explícitamente las funciones de transición del haz reticular periódico (al estilo de Cushman y Bates), lo que parece equivalente a otros enfoques (como calcular las coordenadas del ángulo de acción local). ¿Existen otros trucos conocidos para hacer esto, o ejemplos famosos que debería conocer? Por ejemplo, si puedo realizar mi sistema como un par de Lax, ¿hay formas "algebraicas" de detectar la monodromía?
Edición: cf. http://arxiv.org/pdf/1401.3630.pdf parece que (al menos en 2 grados de libertad) si tienes un valor singular de foco aislado en la base, entonces (en el caso Hamiltoniano) la monodromía alrededor de ese punto puede ser calculada a partir del número de puntos singulares en la fibra. Así que una estrategia es estudiar la topología de las fibras singulares. Aparentemente, este enfoque se rompe si el sistema no es hamiltoniano. ¿Se puede generalizar este enfoque a sistemas hamiltonianos con grados de libertad arbitrarios? Por ejemplo, en grado 3 estaríamos buscando monodromía alrededor de una línea crítica, por lo que podríamos necesitar estudiar la topología de un haz de tori singulares sobre esta línea.
