¿Cómo calcular la varianza condicional?

Question

La distribución de valores del paquete de jubilación ofrecido por una empresa a los nuevos empleados se modela mediante la función de densidad de probabilidad:
$$ f(x) = \begin{cases} \frac 1 5 e^{-\frac 1 5 (x-5)}, &x>5 \\ 0, &{\rm otherwise.} \end{cases} $$

Calcular la varianza del valor del paquete de jubilación para un nuevo empleado, dado que el valor es de al menos $10$ .

Parte de la solución:
$$ f(x) = \frac{0.2e^{-0.2(y-5)}}{\int_{10}^\infty 0.2e^{-0.2(y-5)}dx} = \frac{0.2e^{-0.2(y-5)}}{-e^{-0.2(y-5)}|_{10}^\infty} = \frac{0.2e^{-0.2(y-5)}}{e^{-0.2(5)}} = 0.2e^{-0.2(y-10)},\\ y>10. $$

A continuación, observe que $Y – 10$ tiene una distracción exponencial con media $5$ . Restar una constante no cambia la varianza, por lo que la varianza de $Y$ es también $25$ .

No sé qué fórmula están utilizando para obtener $f(y)$ en este caso. ¿Puede alguien decirme de qué fórmula se trata?

Answer 1

Sugerencia : Supongamos que $X$ el pago del paquete de jubilación, tiene función de densidad $f(x)$ dado arriba.

Entonces, dado que el valor es de al menos 10 el nuevo PDF sería $$f_{X \mid X > 10}(x)=\dfrac{f(x)}{\mathbb{P}(X > 10)}\text{.}$$ Esto es una consecuencia de la fórmula de la probabilidad condicional: $$\mathbb{P}(A \mid B)=\dfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}\text{.}$$

Answer 2

Se trata de una densidad condicional, la densidad de $X$ condicionado al hecho de que $X>10$ Inicio $$\mathbb{P}(X\in B\,,\ X>10)=\int_{B\cap (10,\infty)} 0.2 e^{-0.2(x-5)}\text{d}x$$ et $$\mathbb{P}(X>10)=\int_{10}^\infty 0.2 e^{-0.2(x-5)}\text{d}x$$