Estoy en la sección de dominio de mi libro de texto. Dice que para las funciones logarítmicas, la base debe ser mayor que uno. Puedo entender por qué la base no debe ser uno, pero ¿cuál es el problema con los números negativos?
por ejemplo, ¿Qué tiene de malo $\log_{-2} x$ ?
En primer lugar, hay un error en el libro de texto, ya que se puede tener la base del logaritmo menor que 1 y mayor que 0. La base del logaritmo real es generalmente $b\in(0,\infty),b\neq1$ . En cuanto a las bases negativas, experimentamos algunos problemas extraños e incoherencias. Por ejemplo, sería lógico que $$(-2)^2=4\implies\log_{-2}(4)=2$$ Sin embargo, utilizando el cambio de identidad de base, $$2=\log_{-2}(4)=\frac{\log_2(4)}{\log_{2}(-2)}\implies\log_{2}(-2)=1\implies2^1=-2$$ lo que obviamente es una contradicción.
Además, perdemos algunas propiedades agradables como la continuidad en el plano real. Por ejemplo, sería lógico decir que $$(-27)^{\frac13}=-3\implies\log_{-27}(-3)=\frac13$$ sino una aproximación a $\frac13$ a $n$ decimales es $\frac{10^n-1}{3\cdot 10^n}$ (debería entender por qué), y $$(-27)^{\frac{10^n-1}{3\cdot 10^n}}=\left((-27)^{10^n-1}\right)^{\frac1{3\cdot10^n-1}}\notin\mathbb{R}$$ desde $10^n-1$ es impar, $3\cdot10^n$ es par, una potencia impar de un número negativo es negativa, y una raíz par de un número negativo no es real. Así, mientras que un exponente de $\frac13$ tiene una raíz real bien definida, la zona próxima a ella no. Ocurre algo parecido con otras potencias y bases negativas, y se acaba con un conjunto inconexo de puntos en el eje real. Dado que el logaritmo es la inversa de la multiplicación, obtenemos de forma similar un desorden de puntos individuales donde está definido.
Así que para preservar nuestras leyes logarítmicas y mantener un gráfico suave, lo ideal es restringir la base del logaritmo para evitar valores negativos.
Porque al trabajar sólo con números reales, no sabemos dar sentido a la expresión $(-2)^\sqrt{2}$ por ejemplo.
En general, la expresión $a^x$ con $x \in \mathbb R$ sólo tiene sentido si $a > 0$ . Desde $a$ es la base del logaritmo, puedes ver por qué nos limitamos con base positiva.
Con el número complejo la situación es diferente; siempre podemos definir $a^x = e^{x \ln^\mathbb C a}$ donde $\ln^\mathbb C$ indica el logaritmo complejo, que es una función multivalor, dada formalmente por
$$\ln^\mathbb C z = \ln^\mathbb R |z| + (2k\pi + \arg z)i$$
(tenga en cuenta que de esta manera $a^x$ no es un número complejo bien definido, es una colección infinita de números complejos )
En principio, se podría definir el logaritmo complejo para bases distintas de $e$ (¡también las negativas!), pero no es útil hacerlo.
En principio no tiene nada de malo, es una función analítica en el plano complejo. Sin embargo, para los números reales se encontrará con dificultades, por ejemplo, ¿qué es $\log_{-2}(2)$ ? Desde luego, no es real.
Una pregunta más interesante puede ser por qué la base no puede estar en el intervalo $(0,1)$ ? Si ampliamos nuestra definición para incluir este intervalo, veremos que $\log_{1/b} = - \log_b$ por lo que a menudo nos limitaremos a utilizar la base que se encuentra en el intervalo $(1,\infty)$ . Sin embargo, como se ha señalado en los comentarios, esto no es motivo para eliminar $(0,1)$ de la definición y, por tanto, se puede utilizar si realmente se considera que es lo mejor.
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