definición formal del límite y planteamiento por ambas partes

Question

La definición formal de los límites define cuándo debe existir un límite (como se ve aquí Entrada de Wikilibros

Además, he visto en varias fuentes que sólo existe un límite cuando la función se aproxima al mismo valor tanto por el lado izquierdo como por el derecho.

¿Cómo puedo unir estas dos cosas? En otras palabras, ¿cómo garantiza la definición formal de límites que un límite sólo sale cuando la función se aproxima al mismo valor por ambos lados?

Answer 1

Como se menciona en mi comentario, los controles de límite de la derecha para $0<x−c<δ$ . Límite izquierdo comprueba $−δ<x−c<0$ . Una comprobación a dos caras de $−δ<x−c<δ$ . Para ver por qué esto es importante, observe el límite $\lim_{x \to 0}{1 \over x}$ .

Límite izquierdo: Por definición, sólo puedo elegir $x$ en $(-\delta,0)$ . Así, cada valor que elija para $x$ dará lugar a $1\over x$ siendo un punto de la curva que se aproxima a $-\infty$ desde el lado izquierdo.

Límite derecho: De forma similar, cada valor que elija para $x$ está en $(0, \delta)$ Así que $1\over x$ siempre habrá un punto en la curva que se aproxime a $+\infty$ desde el lado derecho.

Límite de dos caras: Aquí es donde radica el problema. Puedo elegir un $x$ de la curva de la derecha o de la curva de la izquierda porque estoy eligiendo $x$ de $(-\delta, \delta)$ . No hay "un límite" distinto que $x$ se acerca a dado el intervalo de elección. La confusión que se produce lleva a la conclusión de que no existe ningún límite dada la definición formal de límite "de dos lados".

Por otro lado, supongamos que tanto el límite derecho como el límite izquierdo existen para una función $f$ en $c$ . Entonces tenemos:

Por cada $\varepsilon > 0$ existe $\delta_1 > 0$ et $\delta_2 > 0$ tal que $-\delta_1 < x - c < 0$ et $0 < x - c < \delta_2$ implican que $|f(x) - L| < \varepsilon$ . Por lo tanto, existe $\delta = min(\delta_1, \delta_2) > 0$ tal que $0 < |x - c| < \delta$ implican que $|f(x) - L| < \varepsilon$ así que por definición.., $f$ tiene un límite de dos lados.

Del párrafo anterior podemos concluir que todas las funciones cuyos límites derecho e izquierdo coincidan deben tener un límite bilateral que exista (y sea igual al límite de cualquiera de los dos lados).