Calcular la transformada de Laplace :

Question

Demuestre que, siempre que a>0 y f sea una función real que :

$L\left[ f\left( t-a\right) H\left( t-a\right) \right] =e^{-pa}L\left( f\left( t\right) \right)$

Entiendo que cuando multiplicamos una función $f(x)$ por $e^{px}$ tenemos :

$F\left( p-p_{0}\right)$

Answer 1

$$\begin{align} \mathcal L\left[ f\left( t-a\right) H\left( t-a\right) \right] &=\int_a^\infty\mathrm e^{-pt}f\left( t-a\right)\mathrm dt\\ &=\int_0^\infty\mathrm e^{-p(u+a)}f\left( u\right)\mathrm du\qquad (t-a=u)\\ &=\mathrm e^{-pa}\int_0^\infty\mathrm e^{-pt}f\left( t\right)\mathrm dt\qquad (t=u)\\ &=\mathrm e^{-pa}\mathcal L\left[ f\left( t\right) \right] \end{align}$$