Puede una base para un espacio vectorial $V$ puede ser restringido a una base para cualquier subespacio $W$?

Question

No entiendo por qué esta declaración es incorrecta:

$V$ es un espacio vectorial, y $W$ es un subespacio de $V$. $K$ es una base de $V$. Podemos llegar a encontrar un subconjunto de a $K$ que será una base de $W$.

Lo siento si mi inglés es malo... y si usted me puede mostrar un ejemplo de algo que la contradice, sería genial.

Answer 1

Tomemos, por ejemplo,$V = \mathbb{R}^2$, $W = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x = y\}$, y $K = \{(1,0),(0,1)\}$.

$W$ es un subespacio de $V$, pero no es subconjunto de a $K$ que da una base para $W$.

Answer 2

Un simple contador-ejemplo es $V=\mathbb R^2$, $W$ = el $y$-eje, y la base de la $V = \{ (1,0),(1,1)\}$.

Claramente ninguno de los dos vectores linealmente independientes en esta base se encuentran a lo largo de la $y$-eje.