Problema de lanzamiento de una moneda entre dos jugadores. Encontrar la probabilidad de que un jugador lanza cara primero.

Question

Jugador $1$ lanza una moneda sesgada con la probabilidad de obtener $H$ (una cabeza) siendo $p$ para algunos $0<p<1$ y Jugador $2$ lanza una moneda sesgada con la probabilidad de obtener $H$ (una cabeza) siendo $q$ para algunos $0<q<1$ . Tiran sus monedas al mismo tiempo. El primer jugador que consiga $H$ gana. Si ambos consiguen $H$ El partido termina en empate. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador $1$ ¿Gana?

Esto es lo que tengo:

Sea $P(A_k)=P(\{\text{Player $ 1 $ wins on $ k $th toss} \})=P(\{\text{Player $ 1 $ gets $ H $ on $ k $th toss and Player $ 2 $ gets $ T $ on $ k $th toss})=P(\{\text{Player $ 1 $ gets $ H $ on $ k $th toss}\})P(\{\text{Player $ 2 $ gets $ T $ on $ k $th toss}\}) =(1-p)^{k-1}(1-q)^{k-1}p.$

Entonces $P(\{\text{A wins}\})=P(\cup_{k\geq 1} A_k)=\sum_{k\geq 1} P(A_k)= \sum_{k\geq 1} (1-p)^{k-1}(1-q)^{k-1}p=\frac{p}{1-p} \left(\frac{1}{1-(1-p)(1-q)}-1\right).$

¿Puede alguien decirme si voy por buen camino? Gracias.

Answer 1

$\underline{Revised\;answer}$

Etiquetaré al jugador $1$ como $A$ para mayor claridad.
También entiendo, según el enunciado exacto de la pregunta, que el hecho de que ambos obtengan cara en una ronda es un empate, mientras que el hecho de que ambos obtengan cruz en una ronda prolonga el juego, y que queremos encontrar $ P(A\;eventually\;wins)= \Bbb P\; (say) $

$A$ puede ganar en el $1^{st}$ ronda obteniendo H mientras $B$ consigue $T$ y en la(s) ronda(s) siguiente(s) sólo si se extiende a la(s) ronda(s) siguiente(s)

• $\underline{Using\; geometric\; series}$

$A$ puede ganar en primera ronda con $Pr = p(1-q),$ o pasar a la siguiente ronda con $Pr = (1-p)(1-q),$ y volver a ganar con $Pr = p(1-q),$ etc.

Así $\Bbb P = p(1-q) + (1-p)(1-q)p(1-q) + ((1-p)(1-q))^2p(1-q)\; + ...$

Este es un G.P. con $a = p(1-q),\; r = (1-p)(1-q)\;\;\; S(\infty) = \dfrac{a}{1-r}$

$so\; \Bbb P= \dfrac{p(1-q)}{1 - (1-p)(1-q)}$

• $\underline{Using\; recursion}$

$A$ gana en primera ronda con $Pr = p(1-q)\;$ o vuelve al principio con $Pr = (1-p)(1-q)$

Así que $\Bbb P = p(1-q) + (1-p)(1-q)\Bbb P$

lo que de nuevo da como resultado, $\Bbb P = \dfrac{p(1-q)}{1 - (1-p)(1-q)}$

Answer 2

$\ P(A_w)$ = $\ P(A_H)$ + $\ P(A_T,B_T,A_H)$ + $\ P(A_T,B_T,A_T,B_T,A_H)$ +...

$\ P(A_w)$ = $\ p$ + $\ (1-p)(1-q)p$ + $\ (1-p)^2(1-q)^2p$ + $\ (1-p)^3(1-q)^3p$
+...

$\ P(A_w)$ = $$\sum_{k=0}^\infty p[(1-p)(1-q)]^k$$

Obsérvese que forma una secuencia geométrica.

Así $\ P(A_w)$ = $$ \frac{p}{1-(1-p)(1-q)}$$

Answer 3

Para complementar la respuesta del usuario362325, proporcionaré otro método para resolver este problema:

Tenga en cuenta que, si ninguno de los jugadores saca cara en cada una de sus primeras tiradas, el problema vuelve esencialmente al original. Sea $x_1$ es la probabilidad de que el jugador 1 gane.

Sabemos que

$$x_1 = p+(1-p)(1-q)x_1$$

donde la primera $p$ representa que el primer lanzamiento salga cara y la otra parte es la probabilidad de que ninguno de los jugadores salga cara, $(1-p)(1-q)$ veces el original $x_1$ .

¿Puedes seguir a partir de ahí?

Answer 4

Gracias por la sugerencia de Carl Schildkraut.

Por su expresión, $$\ x_1=p+(1−p)(1−q)x_1$$ en $x_1$ como tema, $$\ [1-(1-p)(1-q)]x_1=p$$ $$\ x_1=\frac{p}{1-(1-p)(1-q)}$$

¿Es esto numéricamente idéntico a mi respuesta original?