¿Por qué $\int d^3r_1 \, d^3 r_2 \, \frac{F(\vec{r}_1) F^*(\vec{r}_2)}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}$ ¿Positiva?

Question

Tengo la siguiente cantidad:

$$ I = \int_{\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3} d^3r_1 \, d^3 r_2 \, \frac{F(\vec{r}_1) F^*(\vec{r}_2)}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|} $$

$I$ es obviamente real por simetría. ¿Cómo puedo demostrar que también es semidefinida positiva?

Answer 1

Recordemos que la solución de Ecuación de Poisson $\nabla^2 J = F$ viene dada por $J(r_2) = -\frac{1}{4\pi}\int \frac{F(r_1){\rm d}r_1}{|r_1-r_2|}$ . De este modo, la integral puede escribirse $$I = -4\pi\int J(r_2)\nabla^2 J^*(r_2){\rm d}r_2 = 4\pi\int |\nabla J(r_2)|^2 {\rm d}r_2 \geq 0$$ donde utilizamos la integración por partes (como de costumbre, suponiendo que los términos de frontera desaparecen) para llegar a la última igualdad.