Laplaciano en la variedad de Calabi-Yau

Question

Es el Laplaciano (Hodge) de un $(p,q)$ -en una variedad de Calabi-Yau igual al laplaciano covariante? Es decir, ¿es $(\Delta \omega)_{\mu_1 \dots \mu_p \bar{\nu}_1 \dots \bar{\nu}_q} = - \nabla^a \nabla_a \omega_{\mu_1 \dots \mu_p \bar{\nu}_1 \dots \bar{\nu}_q}$ ? Creo que la respuesta es negativa: debe haber términos adicionales en los que intervenga el tensor de Riemann.

Answer 1

Un intento de respuesta: en una variedad de Kähler, los distintos Laplacianos son idénticos hasta un factor de 2. Además, podemos considerar un complejo $k$ -como un verdadero $2k$ -dimensional y trivialmente extender cualquier $(p,q)$ -a un $(p+q)$ -poniendo a cero los coeficientes correspondientes. El laplaciano de a $(p,q)$ -en una variedad de Kähler es igual al Laplaciano de la "realificada" $(p+q)$ -forma. Esto nos permite adaptar una identidad de Weitzenböck de la literatura de geometría diferencial (por ejemplo, la ec. (9.13) de http://www.math.wisc.edu/~jeffv/courses/865_Fall_2007.pdf ) para $(p+q = n)$ -forma $\omega$ en variedades riemannianas reales de dimensión $2k$ : \begin{equation} \label{weitzenbock} \Delta \omega = - \nabla^2 \omega + \rho_\omega, \end{equation} donde $\nabla^2 = \nabla^a \nabla_a$ es el laplaciano "aproximado" o covariante y $\rho_\omega$ es un término de "corrección" en el que intervienen los tensores de curvatura: \begin{align} \left( \rho_\omega \right)_{a_1 a_2 \dots a_n} = - \sum_{i=1}^{n-1} & \sum_{j > i}^n \mbox{$R^{lm}$}_{a_i a_j} \omega_{a_1 \dots a_{i-1} l a_{i+1} \dots a_{j-1} m a_{j+1} \dots a_n} \notag \\ & + \sum_{i=1}^n \mbox{$R^l$}_{a_i} \omega_{a_1 \dots a_{i-1} l a_{i+1} \dots a_n}. \end{align} Para obtener el resultado para las variedades de Kähler, basta con introducir $(a_1 a_2 \dots a_n) = (\mu_1 \dots \mu_p \bar{\nu}_1 \dots \bar{\nu}_q)$ y posiblemente simplificar la expresión utilizando las propiedades del tensor de Riemann en las variedades de Kähler. Por ejemplo, podríamos observar que los índices $l,m$ en el $\mbox{$ R^{lm} $}_{a_i a_j}$ tienen que ser de holomorfía diferente para que esa contribución sea no evanescente, y que los índices $l, a_i$ en $\mbox{$ R^l $}_{a_i}$ tienen que ser del mismo tipo para que no sea evanescente. Obtenemos, utilizando la antisimetría de $\omega$ , \begin{align} \left( \rho_\omega \right)_{\mu_1 \dots \mu_p \bar{\nu}_1 \dots \bar{\nu}_q} = - 2 \sum_{i=1}^p & \sum_{j = 1}^q \mbox{$R^{\alpha \bar{\beta}}$}_{\mu_i \bar{\nu}_j} \omega_{\mu_1 \dots \mu_{i-1} \alpha \mu_{i+1} \dots \mu_p \bar{\nu}_1 \dots \bar{\nu}_{j-1} \bar{\beta} \bar{\nu}_{j+1} \dots \bar{\nu}_q} \notag \\ & + \sum_{i=1}^p \mbox{$R^\alpha$}_{\mu_i} \omega_{\mu_1 \dots \mu_{i-1} \alpha \mu_{i+1} \dots \mu_p \bar{\nu}_1 \dots \bar{\nu}_q} + \sum_{j=1}^q \mbox{$R^\bar{\beta}$}_{\bar{\nu}_j} \omega_{\mu_1 \dots \mu_p \bar{\nu}_1 \dots \bar{\nu}_{j-1} \bar{\beta} \bar{\nu}_{j+1} \dots \bar{\nu}_q}. \end{align} Si es correcto, el artículo de Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Weitzenb%C3%B6ck_identity afirma un resultado incorrecto en la sección "Geometría diferencial compleja" y deberíamos cambiarlo. En una variedad de Calabi-Yau, las dos últimas sumas no contribuyen, pero los términos del tensor de Riemann siguen estando presentes.