$3D$ Ecuación de transferencia de calor con generación de pérdidas internas (temperaturas límite nulas )

Question

Pregunto sinceramente la solución analítica a la $3D$ Ecuación de transferencia de calor con generación constante de pérdidas internas.

No sé cómo encontrar la solución particular para la ecuación de Poisson. La solución general de la ecuación de Laplace es simplemente.

$$\sum_{n,m}\sin\left(\frac{m\pi }{W}x\right)\cdot\sin\left(\frac{n\pi }{H}y\right)\cdot\sinh(k_{mn}z)$$

Answer 1

Así que en primer lugar creo que tienes un pequeño error en las condiciones de contorno, supongo que debería decir $T(x,y,{\color{red} 0})=T(x,y,L)=0$ .

Además tu "solución general" es un poco impar: satisface la ecuación diferencial y las condiciones de contorno en $x$ y $y$ dirección, pero no en $z$ .

Para obtener una solución a la ecuación diferencial propondría partir de una base de funciones propias del laplaciano (junto con las condiciones de contorno), es decir:

$$ \varphi_{l,m,n}(x,y,z)=\sin\left(\frac{l\pi }{W}x\right)\cdot\sin\left(\frac{m\pi }{H}y\right)\cdot\sin\left(\frac{n\pi }{L}z\right)\\ \Delta\varphi_{l,m,n}=\underbrace{-\left((\tfrac{l\pi }{W})^2+(\tfrac{m\pi }{H})^2+(\tfrac{n\pi }{L})^2\right)}_{=\lambda_{l,m,n}}\varphi_{l,m,n} $$

A continuación construimos nuestra solución a partir de las funciones propias y ajustamos los coeficientes $a_{l,m,n}$ para satisfacer la ecuación diferencial: $$ u=\sum_{l,m,n}a_{l,m,n}\varphi_{l,m,n}\\ \Rightarrow \Delta u + C = 0\\ \Leftrightarrow \sum_{l,m,n}\lambda_{l,m,n}a_{l,m,n}\varphi_{l,m,n} + C = 0 $$ a continuación multiplicamos por $\varphi_{l',m',n'}$ e integrar sobre el dominio $$ \sum_{l,m,n}\lambda_{l,m,n}a_{l,m,n}\iiint\varphi_{l,m,n}\varphi_{l',m',n'}dxyz + C\iiint\varphi_{l',m',n'}dxyz = 0 $$ Dado que las funciones propias son ortogonales, la primera integral sólo es distinta de cero si $l=l',m=m',n=n'$ por lo que la suma se reduce a

$$ \lambda_{l',m',n'}a_{l',m',n'}\iiint\varphi_{l',m',n'}^2dxyz + C\iiint\varphi_{l',m',n'}dxyz = 0\\ \Rightarrow a_{l',m',n'}=-C\frac{\iiint\varphi_{l',m',n'}dxyz}{\lambda_{l',m',n'}\iiint\varphi_{l',m',n'}^2dxyz}\\ \Rightarrow a_{l',m',n'}=\begin{cases}-C\frac{64W^2H^2L^2}{\pi^5l'm'n'(H^2L^2l'^2+L^2W^2m'^2+H^2W^2n'^2)}&l',m',n' \mbox{ odd}\\ 0&\mbox{otherwise}\end{cases} $$

Lo que finalmente da la solución como: $$ u(x,y,z)=-C\sum_{l,m,n=0}\frac{64W^2H^2L^2\sin\left(\frac{(2l+1)\pi }{W}x\right)\cdot\sin\left(\frac{(2m+1)\pi }{H}y\right)\cdot\sin\left(\frac{(2n+1)\pi }{L}z\right)}{\pi^5(2l+1)(2m+1)(2n+1)(H^2L^2(2l+1)^2+L^2W^2(2m+1)^2+H^2W^2(2n+1)^2)} $$

(Aquí he reescrito los índices para omitir automáticamente los pares)