Me he estado preguntando cómo resolver esta cuestión que vi en un libro de texto. Dado $ g \in \bigcup _{1\leq p\leq \infty} L^{p}$ definir, para $ r \in [ 0,1]$ , $$ G(r) = \int_{0}^{r} g(t) dt \;.$$ Demuestra que $G$ es continua en $ [0,1]$ y que si $ g\in L^{p}$ para algunos $ p> 1$ entonces $G \in \lambda_{{1/p'}} [0, 1]$ .
Respuesta
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Desde $[0,1]$ tiene medida finita, $g \in \bigcup L^p[0,1]$ implica que $g \in L^1[0,1]$ . (Si se refería a $g \in L^p(\mathbb{R})$ para algunos $p$ aviso de que su restricción a $[0,1]$ sigue en $L^1[0,1]$ ). Defina $G_x = g \cdot \chi_{[0, x]}$ donde $\chi_{[0,x]}$ es la función característica de $[0,x]$ . Entonces $$G(r) = \int_0^1 G_r (t) dt$$ Elija una secuencia convergente $x_n \to x$ en $[0,1]$ . Entonces $G_{x_n} \to G_x$ puntualmente y $G_{x_n}$ está dominada por $g$ . Entonces por el teorema de convergencia dominada tenemos $$G(x_n) = \int_0^1 G_{x_n}(t) dt \to \int_0^1 G_x(t) dt = G(x)$$ lo que demuestra que $G$ es continua. Para la continuidad de Hölder, obsérvese que $$|G(x) - G(y)| = \left|\int_0^x g(t) dt - \int_0^y g(t) dt\right| = \left|\int_y^x g(t) dt\right|$$ $$ = \left|\int_y^x 1 \cdot g(t) dt \right| \le \|g\|_{L^p[y,x]}\|1\|_{L^{p'}[y,x]}$$ $$ \leq \|g\|_p|x-y|^{1/p'}$$ por la desigualdad de Hölder. Aquí hemos supuesto implícitamente $p > 1$ ya que para $p=1$ no es cierto que $\|1\|_{L^{p'}[y,x]} = |x-y|^{1/p'}$ como en este caso $p' = \infty$ .
