Cómo probar que el conjunto $\{\sin(x),\sin(2x),...,\sin(mx)\}$ es linealmente independiente?

Question

Me podrían ayudar a demostrar que las funciones $\sin(x),\sin(2x),...,\sin(mx)\in V$ son linealmente independientes, donde $V$ es el espacio de funciones reales?

Gracias.

Answer 1

Supongamos que, para cada $x\in\Bbb R$ tenemos $$a_1\sin x+a_2\sin 2x+\cdots+a_m\sin mx=0$$

Tome $i\in \{1,\dots,m\}$, y considerar la posibilidad de $\sin ix$. Se multiplican a lo largo y a integrar de$x=0$$x=2\pi$. Hacer esto para $i=1,\dots,m$. El uso que $$\int_0^{2\pi} \sin mx\sin nxdx=\begin{cases}0& m\neq n\\ \pi &m=n\end{cases}$$

AÑADIR Si lo anterior no era del todo clara, para cada una de las $1\leq k\leq m$

$$\begin{align}\sum_{j=1}^m a_j\sin jx&=0\\ \sum_{j=1}^m a_j\sin kx\sin jx&=0\\ \sum_{j=1}^m a_j\int_0^{2\pi}\sin kx\sin jxdx&=0\\ a_k \pi&=0\\ {}&{}\\ a_k&=0\end{align}$$

ya que, por supuesto, $\pi\neq 0$.

Answer 2

Para la variedad....

Deje $D$ ser la diferenciación del operador. Es una transformación lineal.

$D^2 \sin(kx) = -k^2 \sin(kx)$, lo $\sin(kx)$ es un eigenfunction (es decir, un vector propio cuando el espacio vectorial es un espacio de funciones) de $D^2$ con autovalor $-k^2$.

Desde cada uno de los autovalores $-1, -4, -9, \cdots, -m^2$ son distintos, las funciones propias deben ser linealmente independientes.

Answer 3

Deje $e_k(t) = \sin kt$, y considerar el espacio $V=\operatorname{sp} \{ e_k \}_{k=1}^m$, con el producto interior $\langle f_1, f_2 \rangle = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f_1(t) f_2(t) dt$.

Un rápido cálculo muestra que $\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$, por lo tanto el $e_k$ son ortonormales.

Si $\sum \alpha_k e_k = 0$, entonces a partir de la $\langle e_i, \sum \alpha_k e_k \rangle = \alpha_k = 0$, vemos que el $e_k$ son linealmente independientes.

Enfoque alternativo:

Deje $f(t) = \sum_{k=1}^m \alpha_k \sin kt $, y supongamos $f(t) = 0$ todos los $t$. Deje $D = \frac{d}{dt}$. Tenga en cuenta que $(D^{2n+1} f)(t)= (-1)^n\sum_{k=1}^m \alpha_k k (k^2)^n \cos kt $ ($=0$ para todos los $t$, por supuesto). En particular, $\lim_{n \to \infty} (-1)^n\frac{(D^{2n+1} f)(0)}{m^{2n+1}} = \alpha_m = 0$. Desde $\alpha_m = 0$,$\lim_{n \to \infty} (-1)^n\frac{(D^{2n+1} f)(0)}{(m-1)^{2n+1}} = \alpha_{m-1} = 0$, y así sucesivamente. La repetición de esta muestra que $\alpha_k = 0$ todos los $k$. Por lo tanto las funciones de $t \mapsto \sin kt$ son linealmente independientes.

Answer 4

Sugerencia: Encontrar $m$ valores $a_1,...,a_m$, de tal manera que la matriz de $$\pmatrix{\sin(a_1) & \sin(2a_1) & \dots & \sin (ma_1) \\ \sin(a_2) & \sin(2a_2) & \dots & \sin (ma_2) \\ \vdots && \ddots & \vdots \\ \sin(a_m) & \sin(2a_m) & \dots & \sin (ma_m) \\ }$$ es regular (tiene determinante distinto de cero).

Answer 5

Si $\{ \sin x, \sin 2x, \ldots, \sin mx\}$ es lineal dependiente, para algunos $a_1,\ldots,a_m \in \mathbb{R}$, no todos cero, tenemos:

$$\sum_{k=1}^m a_k \sin kx = 0, \text{ for all } x \in \mathbb{R}$$

Esto a su vez implica para cada $z \in S^1 = \{ \omega \in \mathbb{C} : |\omega| = 1\}$, si escribimos $z$$e^{ix}$, tenemos:

$$0 = \sum_{k=1}^m a_k \sin kx = \sum_{k=1}^m a_k \frac{z^k - z^{-k}}{2i} = \frac{z^{-m}}{2i}\sum_{k=1}^m a_k\left(z^{m+k}-z^{m-k}\right)$$

Esto se contradice con el hecho de que el lado derecho de la expresión anterior es $\frac{z^{-m}}{2i}$ multiplicado por un no-cero del polinomio en $z$ y tiene a lo sumo un número finito de raíces en $S^1$.