Prueba $I=\{r\in R\vert rL\subseteq N\}$ es un ideal de $R$ .

Question

Sea $R$ es un anillo conmutativo con identidad $1$ , dejemos que $M$ es un módulo sobre $R$ y que $N$ y $L$ son submódulos de $M$ . Prueba $$I=\{r\in R\vert rL\subseteq N\}$$ es un ideal de $R$ .

Para demostrar esta afirmación $a,b\in I$ y $r\in R$ . Debemos demostrar: (1) $a-b\in I$ y (2) $ra\in I$ .

Esta es mi prueba.

Sea $a,b\in I$ tenemos $aL\subseteq N$ y $bL\subseteq N$ . Me confundí para mostrar $a-b\in I$ . ¿Es correcto porque $N$ es submódulo, por lo que $$aL-bL=(a-b)L\subseteq N?$$ Así que tengo $a-b\in I$ ?

Answer 1

Tendría un poco más de sentido escribir $(a-b)L\subseteq aL+bL\subseteq N$ . (El signo de resta no es realmente importante aquí, ya que supongo que de todas formas estás asumiendo anillos con identidad).

Espero que también haya incluido en su prueba por qué $(ra)L\subseteq N$ para cualquier $r\in R$ .

Además, debes especificar que estás trabajando con anillos conmutativos, o bien justificar por qué $(ar)L\subseteq N$ para todos $r\in R$ .