Para una función $f(x)$ la definición de su derivada es $$f'(x) = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$$
La derivada $f'(x)$ se supone que es el mismo para $\Delta x>0$ y $\Delta x<0$ . Lo que significa que si ahora ponemos $\Delta x>0$ , $$\lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x-\Delta x)-f(x)}{-\Delta x}$$ tiene que ser verdad.
Pero, ¿cómo se demuestra que la expresión anterior es cierta?
Pensé en el ejemplo en el que $f(x)=e^x$ y que $\Delta x=3$ . En el punto $x=0$ , $$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{e^3-1}{3}$$ y $$\frac{f(x-\Delta x)-f(x)}{-\Delta x}=\frac{e^{-3}-1}{-3}.$$ No son iguales e intuitivamente pensé que como $\Delta x \to 0$ , lo harán aproximadamente iguales entre sí pero nunca exactamente iguales, ya que la gráfica de $f(x)=e^x$ no es simétrica con respecto a $x=0$ .
¿Es la afirmación de que la derivada es independiente del signo de $\Delta x$ es decir, la declaración $$\lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x-\Delta x)-f(x)}{-\Delta x}$$ ¿sólo una aproximación entonces?
