Justificación de la conexión entre la convergencia de la transformada de Fourier y la serie de Fourier para $L^2$ función

Question

Para demostrar la convergencia de las series de Fourier de $L^2$ basta con estudiar la convergencia de su transformada de Fourier. Hasta ahora sólo he podido justificar esto para funciones de soporte compacto. ¿Cómo proceder? $L^2$ $f$ sin soporte compacto ?

Prueba para el $f(t) $ de soporte compacto y $\in L^2$ : claramente $f(t) \in L^1$ sin pérdida de generalidad supongamos $f(t)=0$ fuera de $[-\pi,\pi]$ ya que siempre podemos sustituir $f(t)$ con $f(t')$ como $t=\frac{n}{2\pi} t'$ para $n \in N$ y $t' \in R$ .

defina $${g}(s)=\lim_{n\to\infty}\int_{-n}^{n}f(t)e^{-ist}dt$$

La relación entre la transformada de Fourier y la serie de Fourier para $f(t)$ se deduce de

$$(1) \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^{\pi}(\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t+u)\frac{sin(n+\frac{1}{2})u}{2sin(u/2)}du-\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t+u)\frac{sin(n+\frac{1}{2})u}{u}du)^2dt=0$$

que es simplemente consecuencia del Lemma de Riemann-Lebesgue aplicado a la función $ f (t+u) k (u) $ donde $k(u)=\frac{1}{2sin(u/2)}-\frac{1}{u}$ utilizando el término del resto para la serie de Taylor de $sin(u/2)$ , se ve fácilmente $k(u) $ está acotado sobre $[-\pi, \pi]$

$$(2)\frac{1}{2\pi} \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{(n+\frac{1}{2})}g(s)e^{ist}ds=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t+u)\frac{sin(n+\frac{1}{2})u}{u}du$$

Esto se puede deducir del teorema de fubini y de este teorema : $\mu$ es la medida exterior de Lebesgue, $ A $ es un conjunto medible con medida finita. Para todo $n$ , $\int_Af_n^2d\mu \le k $ donde $ k \in R $ , { $ f_n $ } es uniformemente integrable

Convergencia de normas para series de Fourier : $$(3) \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^{\pi}(\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t+u)\frac{sin(n+\frac{1}{2})u}{2sin(u/2)}du-f(t))^2dt=0$$

utilizando el lema de Riemann Lebesgue en (2) tenemos $$\frac{1}{2\pi} \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{(n+\frac{1}{2})}g(s)e^{ist}ds=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t+u)\frac{sin(n+\frac{1}{2})u}{u}du$$

Utilizando la convergencia de la norma de la serie de Fourier (3), el lema de Riemann-Lebesgue y la desigualdad de Cauchy-Schwartz, $a^2+b^2 \ge 2ab$ y (1) y (2) tenemos:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}g(s)e^{ist}ds-f(t)\right)^2dt=0$$

así que si podemos mostrar $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2\pi} \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{(n+\frac{1}{2})}g(s)e^{ist}ds$$ converge ae .Entonces según (1),(2),(3) la serie de Fourier también converge ae. En realidad $ g (s) \in L^2$ basado en el teorema de Plancherel. Curiosamente el teorema de Carleson demuestra que el límite anterior existe ae siempre que $ g (s) \in L^2$

Answer 1

Prueba de $f(t) \in L^2$ :

defina $f_m=f_{[-m,m]}$ donde $m \in N$ y su transformada de Fourier es $\hat{f_m}$

$$\lim_{m\rightarrow\infty} f_m=f$$

Por el teorema de Plancherel : $\lim_{m\rightarrow\infty} \hat{f_m}=\lim_{m\rightarrow\infty}\int_{-m}^{m}f(t)e^{-ist}dt=\hat{f}$ en el sentido de $L^2$

nuestro resultado anterior para la función con soporte compacto : $$\lim_{n\to \infty}\int_{-\pi}^{\pi}(\frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n}\hat{f_m}(s)e^{ist}ds-f_m(t))^2dt =0 $$ $$\lim_{n\to \infty}\int_{-\pi}^{\pi}(\frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n}\hat{f_m}(s)e^{ist}ds-f_m(t))^2dt=\lim_{n\to \infty}\int_{-\pi}^{\pi}(\frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n}\hat{f_m}(s)e^{ist}ds-f_m(t)_{[-\pi,\pi]})^2dt =\lim_{n\to \infty}\int_{-\pi}^{\pi}(\frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n}\hat{f_m}(s)e^{ist}ds-f(t))^2dt=\lim_{n\to \infty}\int_{-\pi}^{\pi}(\frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n}\hat{f_n}(s)e^{ist}ds-f(t))^2dt=0 $$

Existe una subsecuencia { $n$ } tal que $\hat{f_n} \to \hat{f} $ ae. Trabajemos con dicha subsecuencia

$$\lim_{n\to \infty}\int_{-\pi}^{\pi}(\frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n}\hat{f}(s)e^{ist}ds-\frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n}\hat{f_n}(s)e^{ist}ds)^2dt =$$$$ \lim_{n\to \infty}\int_{-\pi}^{\pi}(\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}(f(t+u)_{[-\infty,-n]}+f(t+u)_{[n,\infty]})\frac{sin(n+\frac{1}{2})u}{u}du)^2dt $$ $$ \le 2(||f(u)_{[-\infty,-n]}+f(u)_{[n,\infty]}||_{L^2}+||\frac{sin(n+\frac{1}{2})u}{u}||_{L^2})^{-1/2}$$ by Cauchy-Scwartz ineqaulity

porque $a^2+b^2 \ge 2ab$ se deduce de la desigualdad de Cauchy-Schwartz que:

$\lim_{n\to \infty}\int_{-\pi}^{\pi}(\frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n}\hat{f}(s)e^{ist}ds-f(t))^2dt\le$ $\lim_{n\to \infty}\int_{-\pi}^{\pi}(|\frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n}\hat{f}(s)e^{ist}ds-f_n(t)|+|f_n(t)-f(t)|)^2dt=0 $

demostramos el resultado para alguna secuencia { $n$ } para ver que el resultado se mantiene para todos $n$ observamos que

$$\lim_{n\to \infty}\int_{-\pi}^{\pi}(\frac{1}{2\pi}\int_{-(n+1)}^{(n+1)}\hat{f}(s)e^{ist}ds-\int_{-n}^{n}\hat{f}(s)e^{ist}ds)^2dt \le$$$$ \lim_{n\to \infty}\int_{-\pi}^{\pi}(\frac{1}{2\pi}\int_{-(n+1)}^{(-n)}|\hat{f(s)}|ds+\frac{1}{2\pi}\int_{n}^{(n+1)}|\hat{f(s)}|ds)^2dt \le \lim_{n\to \infty}\frac{1}{2\pi} (||\hat{f}_{[-n-1, -n]}||_{L^2}+||\hat{f}_[n,n+1]}||_{L^2})^2=0$$ por la desigualdad de Hölder