Sea $p \in \mathbb{N}$ sea primo. Demostrar que si hay un elemento en $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ con norma $p$ entonces no hay ningún elemento de norma $-p$

Question

Sea $p \in \mathbb{N}$ sea primo Demuestre que si hay un elemento en $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ con norma $p$ entonces no hay ningún elemento de norma $-p$ .

Lo que tengo hasta ahora es:

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Supongamos que $N(P) = \pm p$ . Los demás elementos de la norma $\pm p$ son UP, UP¯, donde U es una unidad. Pero ningún elemento tiene norma $1$ .

(Else, $N(x + y\sqrt{3}) = x^2 3y^2.$ Si es igual a $1$ entonces $x^2 \equiv 1$ mod $3$ . Sin embargo, esto es imposible ya que $1$ no es un residuo cuadrático módulo $3$ .)

Así que $N(U) = 1$ . Por lo tanto $$N(UP) = N(UP¯) = N(P).$$

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Desde aquí, ¿cómo puedo mostrar $N(P)$ no es $-p$ ?

Answer 1

Supongamos que tiene dos elementos $x,y \in \mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ . Escribiré $x=\alpha + \beta \sqrt{3}$ et $y=\gamma + \delta\sqrt{3}$ , $N(x)=p$ et $N(y)=-p$ donde $N(x)$ denota la norma. Sabemos que $N(x)=\alpha^2-3\beta^2$ y por supuesto $N(y)=\gamma^2-3\delta^2$ .

Ahora tenemos

$N(x)=-N(y) \iff \alpha^2-3\beta^2 = 3\delta^2-\gamma^2 \iff \alpha^2+\gamma^2 = 3(\beta^2+\delta^2)$ .

De ello se deduce $\frac{\alpha^2+\gamma^2}{3}\in \mathbb{Z}$ o lo que es lo mismo $\alpha^2+\gamma^2 \equiv 0 \mod 3$ . Puesto que sólo $0,1$ son resiudos cuadráticos mod 3, esto sólo puede ocurrir si $\alpha^2 \equiv \gamma^2 \equiv 0 \mod 3$ . Pero ahora tenemos $3\mid \alpha^2-3\beta^2 =N(x)$ . Esto es una contradicción, porque asumimos $N(x)=p$ ser primo en $\mathbb{N}$ .