Limitaciones de las presentaciones modelo-categóricas

Question

En la teoría de categorías superiores, es habitual que una estructura débil no pueda ser estrictificada en todas las direcciones simultáneamente. Por ejemplo, una categoría monoidal no es (en general) equivalente a una que sea a la vez estricta y esquelética, y una tricategoría no es (en general) equivalente a una cuyas unidades y ley de intercambio sean a la vez estrictas.

Ahora bien, una categoría modelo puede considerarse como un tipo particular de estrictificación de un $(\infty,1)$ -categoría. Desde esta perspectiva, se plantean todo tipo de preguntas. Para concretar, plantearé una en particular:

¿Existe un $(\infty,1)$ -que (demostrablemente) no puede ser presentada por una categoría modelo en la que todos los objetos son a la vez fibrantes y cofibrantes?

Pero me interesaría recibir respuestas a cualquier pregunta similar.

Answer 1

Por desgracia, no tengo respuesta a la pregunta. Si preguntas por algo más que una categoría de modelo creo que hay ejemplos:

No existe una categoría combinatoria simétrica monoidal de modelos simpliciales $\mathcal{S}$ tal que $\mathbf{Ho}(\mathcal{S})$ es la categoría de homotopía estable y cada objeto de $\mathcal{S}$ es tanto fibrante como cofibrante.

De lo contrario, el functor olvidadizo $\mathcal{S} \rightarrow \mathbf{sSet}$ dado por homming fuera del objeto unidad da una adjunción simétrica monoidal de Quillen que parece tener "demasiadas buenas propiedades". He aquí un esbozo:

Como adjunto derecho de Quillen, conmuta con la formación de espacios de bucles (hasta equivalencia), y preserva todas las equivalencias débiles, por lo que debería factorizar a través del funtor de espacio cero de $\Omega$ -prespectra a $\mathbf{sSet}$ .

Como todo es fibrante, debería ser posible transferir la estructura del modelo en $\mathcal{S}$ a álgebras conmutativas en $\mathcal{S}$ (utilice la combinatoria para ello).

Los dos hechos anteriores juntos contradicen la Observación 11.2 del documento

May, J. P. ¿Qué son exactamente $E_{\infty}$ espacios anulares y $E_{\infty}$ ¿Espectros anulares? Nuevos contextos topológicos para la teoría de Galois y la geometría algebraica (BIRS 2008), 215-282

donde esto se deduce de un resultado debido a Lewis (Teorema 11.1 en el documento anterior).

Answer 2

He aquí otra respuesta que implica añadir propiedades adicionales. Si tenemos una categoría de modelo que

• es localmente cartesiana cerrada, como categoría (por ejemplo, si es una categoría presheaf)
• tiene sus cofibraciones siendo los monomorfismos (por lo tanto en particular todos los objetos son cofibrantes)
• es derecho propio (por ejemplo, si todos los objetos son fibrantes)

entonces retrocede a lo largo de una fibración $g\colon A\to B$ preserva tanto las cofibraciones como las cofibraciones acíclicas, por lo que la adjunción $g^* \dashv \Pi_g$ es Quillen. Por lo tanto, el $(\infty,1)$ -presentada por esta categoría modelo es localmente cartesiana cerrada.

Así, un $(\infty,1)$ -categoría que es no localmente cartesiana cerrada no puede ser presentada por una categoría modelo con las tres propiedades anteriores.