¿Es necesario que un espacio vectorial sea cerrado?

Question

¿Qué parte de la definición de un espacio vectorial (véase aquí ) exige que sea cerrado bajo adición y multiplicación por un escalar en el campo? Lo entendería si definiéramos un espacio vectorial como un grupo de vectores en lugar de como un conjunto, pero no lo hacemos, y además ninguno de los axiomas exige que esto sea una condición.

Answer 1

Porque, las operaciones de suma y multiplicación (por un escalar) son funciones de $V \times V$ a $V$ et $K \times V$ a $V$ respectivamente.

Answer 2

Creo que la definición de Wikipedia está señalando tácitamente que su conjunto es (a) un grupo bajo adición, ya que la operación se define para dar $v + w \in V$ si $v$ et $w$ están en $V$ y las condiciones de asociatividad, identidad e inversa dan un grupo. También (b), la acción del campo $F$ sur $V$ vuelve a ser cerrado por definición (ya que si $\alpha \in F$ et $v \in V$ tenemos $\alpha v \in V$ .)

Una definición equivalente -y posiblemente más clara- de espacio vectorial destacaría que el espacio es un grupo bajo adición y está cerrado bajo la acción del campo.