¿Son las sumas de Riemann iguales a la integral?

Question

En mi libro de texto, definimos la existencia de una integral como satisfecha si y sólo si el sumo de la suma inferior (suma mínima) es igual al ínfimo de la suma superior (suma máxima). Además, el número único $L \leq \int f \leq U$ se define como la integral de $f$ . Es evidente que una suma de Riemann es tal que $L \leq R \leq U$ --- entonces por qué decimos que $R$ sólo es aproximadamente igual a $\int f$ ? ¿No lo es? igual ?

Edito: Aclaro que entiendo por qué las sumas de Riemann sólo deben considerarse aproximadamente iguales a la integral. Mi pregunta es más bien semántica. A mi me parece justificado usar las definiciones del texto (dadas arriba) para demostrar lo que no es --- igual.

Editar para contextualizar:

El autor parece decir que la "suma de Riemann" de la $g'(x_i)$ que arroja la MVT es igual a la integral

Answer 1

Por lo que veo, el problema es que has citado mal la definición de la integral. Has escrito "el número único $L\leq\int f\leq U$ "pero debería ser "el número único tal que para todos sumas inferiores $L$ et todos sumas superiores $U$ (es decir, obtenidos de todas las particiones), $L\leq\int f\leq U$ ". Su $R$ siendo una suma de Riemann para alguna partición particular, satisfará $L\leq\int f\leq U$ para las sumas inferior y superior obtenidas a partir de que partición, pero normalmente no para todas las sumas inferiores y superiores.