Según la ley de la expectativa total, tenemos $$\mathbb{E}X=\sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X\mid A_{i})\cdot \mathbb{P}(A_i)$$ Me pregunto si una fórmula similar es válida para el caso continuo. En concreto, si $Y$ es una variable aleatoria continua con PDF $f_Y(s)$ ¿es cierto que $$\mathbb{E}X=\int_{\mathbb{R}}\mathbb{E}(X\mid Y=s)\cdot f_Y(s) \ ds\text{ ?}$$ Además, ¿es cierto que $$\mathbb{E}(X\mid Y\in A)\cdot\mathbb{P}(Y\in A)=\int_{A}\mathbb{E}(X\mid Y=s)\cdot f_Y(s) \ ds\text{ ?}$$ Me parece que ambas cosas son ciertas, pero no sé cómo demostrarlo. Gracias de antemano.
Respuestas
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Su primera pregunta es cierta. Para demostrarlo se utiliza el ley de la expectativa total : $$ E[X] = E[ E[X|Y]] = \int_\mathbb{R} E[X|Y=s]\cdot f_y(s)\,ds $$ La idea es la siguiente: $E[X|Y=y]$ es función de $y$ (para cada valor $y$ obtenemos un número, $E[X|Y=y]$ ), mientras que $E[X|Y]$ es una variable aleatoria. Es decir, si $E[X|Y=y]$ es la función $g(y)$ entonces $E[X|Y]$ es la variable aleatoria $g(Y)$ . La parte derecha de la ecuación anterior es entonces simplemente $\int_\mathbb{R} g(y)\cdot f_Y(y)\,dy$ que es precisamente $E[g(Y)]$ que es $E[E[X|Y]]$ .
Para su segunda pregunta, $E[X|Y]$ se define como la (casi segura) única variable aleatoria para la que $$ \int_A E[X|Y=y]\cdot f_Y(y)\,dy = \int_A\int_{\mathbb{R}}x\cdot f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy, $$ para todos los subconjuntos de Borel $A$ de $\mathbb R$ donde $f_{X,Y}$ es la distribución conjunta. Tomando $A=\mathbb{R}$ produce la ley de la expectativa total. Reordenando un poco la parte derecha de la ecuación anterior, se obtiene $$ \int_A E[X|Y=y]\cdot f_Y(y)\,dy =P(Y\in A)\int_{\mathbb{R}}x\cdot\frac{\int_A f_{X,Y}(x,y)\,dy}{P(Y\in A)}\,dx=P(Y\in A)\cdot E[X|Y\in A] $$ La segunda igualdad se deduce porque $ \frac{\int_A f_{X,Y}(x,y)\,dy}{P(Y\in A)}$ es precisamente la densidad condicional de $X$ dado $Y\in A$ lo que puede comprobarse integrándolo sobre cualquier subconjunto de Borel $B$ de $\mathbb R$ y viendo que el resultado es efectivamente $P(X\in B|Y\in A)$ .
Vijesh VP
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He aquí una respuesta no rigurosa. Así que $$ \mathbb EX = \sum_{k=-\infty}^\infty \mathbb E(X\big|Y \in [kh,kh+h)) \Pr(Y \in [kh,kh+h)) $$ para cualquier $h>0$ (por la primera fórmula que has escrito). Ahora como $h \to 0$ tenemos que $\Pr(Y \in [s,s+h)) = f_Y(s) h + o(h)$ . Supongamos también que $\lim_{h\to 0} \mathbb E(X\big|Y \in [s,s+h))$ y llamémoslo $\mathbb E(X\big|Y = s)$ . Entonces utilizando la suma de Riemann obtenemos $$ \lim_{h\to 0} \sum_{k=-\infty}^\infty E(X\big|Y \in [kh,kh+h)) \Pr(Y \in [kh,kh+h)) = \int_{-\infty}^\infty E(X\big|Y s) f)Y(s) \, ds .$$
