¿Cómo puedo evaluar este límite con o sin la aplicación de los derivados?

Question

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1^{1/3} + 2^{1/3} + \cdots + n^{1/3}}{n \cdot n^{1/3}} $$

Estudiante de la escuela secundaria aquí! Esta fue una pregunta de nuestro Matemáticas examen (antes de aprender derivados). Ahora se trataba de algún tipo de recompensa aquí en nuestra escuela, pero nadie podría solucionarlo incluso después de que pasaron las semanas.

WolframAlpha da $3/4$, pero no hay otra explicación. Tengo curiosidad de cómo se podría abordar la expresión en el numerador.

Answer 1

$$\frac{1^{1/3}+2^{1/3}+...+n^{1/3}}{n\cdot n^{1/3}}=\frac{\sum_{k=1}^n k^{1/3}}{n\cdot n^{1/3}}=\frac{n^{1/3}}{n \cdot n^{1/3}}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^{1/3}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^{1/3}$$ A continuación,

$$\lim_{n\to\infty }\frac{1^{1/3}+2^{1/3}+...+n^{1/3}}{n\cdot n^{1/3}}=\lim_{n\to\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^{1/3}=\int_0^1 x^{1/3}dx=...$$

Answer 2

Considere la posibilidad de que, desde el $a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2},$ $$ (n+1)^{\frac{4}{3}}-n^{\frac{4}{3}} = \frac{(n+1)^4-n^4}{3n^{\frac{8}{3}}+O\left(n^{\frac{5}{3}}\right)}=\frac{4}{3}n^{\frac{1}{3}}+O\left(n^{-\frac{2}{3}}\right).\tag{1}$$ Al multiplicar ambos lados de la ecuación anterior por $\frac{3}{4}$,, a continuación, suma más de $n$ obtenemos que el límite es de $\color{red}{\frac{3}{4}}$, como se esperaba. Esto es sólo una aplicación de creative telescópica y trivial de las desigualdades.

Answer 3

Sugerencia: $\displaystyle \int_{0}^1 x^{\frac{1}{3}}dx= 3/4$. El numerador es una suma de Riemann !