Se me plantea el siguiente problema:
Encontrar una función de la forma $f(x)=a+b\cos{(cx)}$ que es tangente a la recta $y=1$ en el punto $(0,1)$ y tangente a la recta $y=x+\dfrac{3}{2}-\dfrac{\pi}{4}$ en el punto $\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3}{2}\right)$ .
No sé qué estoy haciendo mal. Tenemos que $f(0)=1$ para que $$a+b\cos{(0)}=a+b=1.$$ Además, tenemos que $$f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{3}{2}=a+b\cos{\left(\dfrac{c\pi}{4}\right)}.$$ Tomando derivadas, sabemos que $f'(0)=0=-bc\sin{0},$ y, por tanto, esto no ayuda a resolver el sistema. F $$f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1=-bc\sin{\left(\dfrac{c\pi}{4}\right)}.$$ Por lo tanto, tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y debería poder resolverse: \begin{align*} &a+b=1\\ &a+b\cos{\left(\frac{c\pi}{4}\right)}=\frac{3}{2}\\ &bc\sin{\left(\frac{c\pi}{4}\right)}=-1 \end{align*}
Así que mi pensamiento inicial aquí era mirar a $$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=a+b\cos\left(\frac{2c\pi}{4}\right)=a+b\cos\left(2\cdot\frac{c\pi}{34}\right)$$ y utilizar fórmulas de doble ángulo. Así que
\begin{align*}f\left(\frac{\pi}{2}\right)&=1-b+b\left[2\cos^2{\left(\frac{c\pi}{4}\right)-1}\right]\\&=1-2b+2b\cos{\left(\frac{c\pi}{4}\right)}\cos{\left(\frac{c\pi}{4}\right)}\\&=1-2b+\frac{2}{b}\left(\frac{3}{2}-a\right)^2\\&=1-2b+\frac{2}{b}\left(\frac{1}{2}+b\right)^2\\&=1-2b+\frac{2}{b}\left(\frac{1}{4}+b+b^2\right)\\&=1-2b+\frac{1}{2b}+2+2b\\&=3+\frac{1}{2b}\end{align*} Y así esto no parece muy útil ya que no puedo resolver para $b$ sin saber $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ . Podría utilizar una fórmula alternativa de doble ángulo, como por ejemplo $\cos(2x)=1-2\sin^2{(2x)}$ y conseguir que $$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1-b+b\left[1-2\sin^2{\frac{c\pi}{4}}\right]=1-\frac{2}{bc^2}.$$ Al igualarlas se obtiene una solución para una variable, pero de nuevo, esto no parece ayudar. Sé que me estoy perdiendo algo muy básico aquí, pero no estoy seguro de qué.
