Si $(1+x)^{4n} +(1+x+x^2)^{2n} +(1+x+x^2+x^3+x^4)^n = a_0 + {a_1}x + {a_2} x^2 + .... +{a_{4n}}x^{4n}$ demuestre que $a_r=a_{4n-r}$

Question

Intenté resolver esta cuestión tratando de demostrar $(a_r)=(a_{4n-r})$

Ahora, $a_r$ es el coeficiente de $x^r$ que podemos obtener sumando los coeficientes de $x^r$ de las 3 expresiones separadas $(1+x)^{4n}$ , $(1+x+x^2)^{2n}$ et $(1+x+x^2+x^3+x^4)^n$

En la primera expresión $(1+x)^{4n}$ es bastante fácil ver que el coeficiente de $x^r$ puede obtenerse a partir de la expansión binomial y el coeficiente $a_r=a_{4n-r}$ por algunas propiedades básicas.

He intentado encontrar el coeficiente de $x^r$ en $(1+x+x^2)^{2n}$

Primero intenté hacerlo simplificando la expresión como $$(1+x+x^2)^{2n} = [1+(x(1+x)]^{2n}$$ Entonces tomando $x(1+x)$ como algunos $y$ , apliqué la expansión binomial y obtuve la siguiente expansión, $$[1+(x(1+x)]^{2n} = \binom {2n}{r}\binom{r}{0}+\binom{2n}{r-1}\binom{r-1}{1}+\binom{2n}{r-2}\binom{r-2}{2}+...+\binom{2n}{r/2}\binom{r/2}{r/2}$$ (cuando $r$ es par, de lo contrario en lugar de subir a $r/2$ subiremos hasta $(r-1)/2$ )

Sin embargo, después de calcularlo, no he podido encontrar ninguna relación entre $a_r$ et $a_{4n-r}$ para esta expresión. Tampoco he podido encontrar ninguna simplificación de este tipo para la tercera expresión $(1+x+x^2+x^3+x^4)^n$

He intentado utilizar la identidad $$1+x+x^2+...+x^n = {(1-x^{n+1})}/{(1-x)}$$ Pero fue incapaz de obtener una mayor simplificación incluso utilizando expansiones binomiales negativas.

Agradeceré cualquier ayuda sobre cómo enfocar esta cuestión.

Gracias de antemano.

Saludos

Answer 1

Sea $$P(x)=(1+x)^{4n} +(1+x+x^2)^{2n} +(1+x+x^2+x^3+x^4)^n$$ Entonces su polinomio recíproco es $$\hat{P}(x)=x^{4n}P(1/x)=x^{4n}\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^{4n} +\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)^{2n} +\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}\right)^n\right)=P(x)$$ Por lo tanto $P(x)$ es un palindrómico y, por tanto $a_r=a_{4n-r}$ .