Respuesta corta: Las partículas "casi idénticas" o son realmente idénticas, o no son idénticas a efectos de la estadística cuántica. A la estadística cuántica no le importa si tu partícula tiene todas las mismas propiedades que un electrón excepto una masa $1.000000000000001 m_e$ que cuenta como partícula distinguible de cualquier electrón. Podrías quejarte de que esto nos da una forma de distinguir experimentalmente masas, etc. con una precisión arbitraria, y tendrías razón: lo permite. La excepción es si la naturaleza conspira para hacernos la vida lo más difícil posible, enredando siempre las partículas y sus dobles de tal manera que casi prohíba las transiciones al estado básico. No hay ninguna razón para creer esto y no se ha visto nada parecido. La situación genérica, incluso para partículas muy similares, implica transiciones rápidas sin bloqueo de Pauli.
Respuesta larga:
La estadística cuántica es un tipo particular de reglas de entrelazamiento y "superselección" que dicen lo siguiente: los únicos estados que forman parte del espacio de Hilbert de un sistema son aquellos que son completamente (anti)simétricos bajo el intercambio de dos partículas idénticas. Para que esto tenga alguna fuerza, las partículas deben ser realmente idénticas, no sólo "casi" idénticas, signifique lo que signifique.
Esto es en realidad una consecuencia automática del formalismo de la teoría cuántica de campos, que es más fundamental y donde la (anti)simetría de intercambio requerida es completamente manifiesta y obvia. Pero para abordar la posibilidad de que la naturaleza pueda ser de otra manera trabajaré en un formalismo donde la respuesta correcta es no manifiesta y obvia: la habitual mecánica cuántica de muchos cuerpos. Aquí tenemos una función de onda de muchos cuerpos $\psi(r_1, r_2, r_3,\cdots,r_N)$ que describen un número fijo de partículas de tipos dados, y que pueden obedecer o no a alguna propiedad de simetría.
Imaginemos ahora que el sistema son dos electrones con función de onda $\psi(r_1, r_2)$ . La estadística de Fermi nos dice que $\psi(r_1, r_2)=-\psi(r_2,r_1)$ . Una función arbitraria de dos coordenadas no servirá, aunque para cualquier $f(r_1,r_2)$ podemos hacer un estado válido mediante $\psi \sim f(r_1,r_2)-f(r_2,r_1)$ . La parte simétrica $f(r_1,r_2)+f(r_2,r_1)$ no es un estado válido. Así que lo que estamos haciendo es descomponer el espacio de Hilbert de todas las funciones de onda de dos partículas en dos partes: $\mathcal{H}_2=\mathcal{H}_- \oplus \mathcal{H}_+$ y cortando la parte simétrica $\mathcal{H}_+$ identificando el espacio físico de Hilbert como $\mathcal{H}_{phys}=\mathcal{H}_-$ . Para $\geq 3$ cortamos también todos los estados con simetrías mixtas, manteniendo sólo el subespacio totalmente antisimétrico. Es importante destacar que estados como $\psi(r_1,r_2)=\chi(r_1)\chi(r_2)$ no existen porque no son antisimétricas y no pueden hacerse antisimétricas. No es que tales estados sean inaccesibles, simplemente no existen.
Aquí está el punto clave: esto puede sólo es posible que funcione para partículas realmente idénticas . Lo que quiero decir es que la simetría de intercambio debe ser realmente una simetría los operadores de intercambio de partículas deben conmutar con el Hamiltoniano. De lo contrario, la evolución temporal a partir de un estado antisimétrico generaría estados de simetría mixta que no serían físicos. Esto demuestra que los fermiones/bosones deben ser partículas idénticas en todos los sentidos. La prueba contraria, es decir, que las partículas idénticas deben ser bosones o fermiones, es consecuencia del hecho de que dos estados que difieren por una operación de intercambio son físicamente indistinguibles, por lo que deben corresponder al mismo rayo en el espacio físico de Hilbert. Así pues, los intercambios llevan un rayo a sí mismo, es decir, cambian el estado como máximo en un factor de fase $\exp(i\phi)$ y las únicas representaciones del grupo de permutación como factores de fase son la representación trivial (simétrica) (es decir, bosones) y la representación $\mathbb{Z}_2$ (antisimétrica) (es decir, fermiones).
Veamos ahora su situación. Imagina que tenemos un sistema de un electrón y un doppelganger, con $\psi(r_1; r_2)$ donde el primer argumento se refiere al electrón y el segundo al doble. Ahora hay ninguna razón para que el estado obedezca a cualquier propiedad de simetría. Ciertamente se puede hacer un estado antisimétrico, pero también se puede hacer un estado simétrico y la evolución temporal no preserva ninguna simetría en particular. Aunque en la práctica no puedas distinguirlos en tu detector $\psi(r_1; r_2)$ y $\psi(r_2; r_1)$ son estados físicamente diferentes, por lo que son rayos ortogonales en el espacio de Hilbert. Por tanto, el argumento anterior se viene abajo. El espacio de Hilbert sigue dividiéndose en representaciones más pequeñas del grupo de permutaciones, pero el hamiltoniano no preserva los subespacios: genera la evolución entre a ellos. Si la simetría de intercambio es casi bueno entonces la evolución entre subespacios será más lenta que la evolución en subespacios.
Es importante destacar que los estados $\chi_{e,d}$ para el electrón y el doppelganger le permiten hacer $\chi_e(r_1)\chi_d(r_2)$ , $\chi_e(r_2)\chi_d(r_1)$ , $\chi_e(r_1)\chi_d(r_2)+\chi_e(r_2)\chi_d(r_1)$ e incluso $\chi_e(r_1)\chi_d(r_2)-\chi_e(r_2)\chi_d(r_1)$ ¡! (La combinación antisimétrica podría no existir si las funciones de onda del estado básico $\chi_e = \chi_d$ que es el caso del pozo infinito pero no de un potencial general. Se puede pensar que esta función de onda es numéricamente pequeña si las funciones $\chi_e \approx \chi_d$ pero siempre se normalizan los estados de muchos cuerpos, así que no hay problema. El punto es que no siempre es idénticamente cero). Así que no hay ningún obstáculo en absoluto para que el sistema baje al estado de tierra. Además, como las propiedades del electrón y del doppelganger son muy similares, las velocidades de transición de los estados excitados al estado de reposo serán similares para las dos partículas. Por tanto, la transición se produce rápidamente. No hay bloqueo de Pauli. Puede pasar mucho tiempo hasta que el carácter de simetría del estado cambie significativamente (porque la diferencia de masas es pequeña), pero esto no importa ya que el sistema puede caer en cualquier combinación de $\chi_e(r_1)\chi_d(r_2)$ y $\chi_e(r_2)\chi_d(r_1)$ .
La única excepción es si la naturaleza conspira para producir siempre estados en un subespacio de simetría que no incluya el estado fundamental, en cuyo caso hay que esperar a que el estado evolucione a un subespacio de simetría diferente, lo que puede llevar un tiempo. Pero esto es una conspiración que no tiene razón de ser. En particular, depende de la forma de las funciones de onda del estado fundamental para el electrón y el doppléjico, que se pueden diseñar para que sean diferentes, por lo que siempre se podría diseñar un nuevo experimento si el que has probado no funciona lo suficientemente rápido.
