Demostrar que una serie condicionalmente convergente tiene infinitos términos positivos e infinitos términos negativos.

Question

El libro que estoy utilizando para mi curso de Cálculo Avanzado es Introducción al Análisis, de Arthur Mattuck.

Demostrar que una serie condicionalmente convergente tiene infinitos términos positivos e infinitos términos negativos.

Esta es mi prueba aproximada a esta pregunta. Me preguntaba si alguien puede echarle un vistazo y ver si he cometido un error o si hay una manera más sencilla de hacer este problema. Quiero dar las gracias de antemano es muy appreciated.So vamos a empezar.

Prueba:

Answer 1

¿Sabes que la suma de dos series absolutamente convergentes es absolutamente convergente?

Si es así, puedes trabajar así. Si la serie tiene un número finito de términos positivos, cambia el signo de cada término. Eso no cambia las propiedades de convergencia, sólo el signo de cada expresión. Así que puedes suponer, por contradicción, que la serie tiene un número finito de términos negativos. Supongamos que el último de ellos es el término $N$ .

Entonces demuestre que $a_1+a_2+a_3 + \dots + a_N+0+0+0 \dots$ es absolutamente convergente al igual que $0+0+\dots +0+a_{N+1}+a_{N+2}+\dots$ (todos los términos distintos de cero son ahora positivos y la suma está acotada por encima). Luego se suman término a término para demostrar que la suma es absolutamente convergente.

Answer 2

Está mostrando algo diferente de lo que se le pide en la tarea.

Para la tarea, se termina después de la afirmación de que ambos $\sum a_n$ y $\sum b_n$ divergen, ya que una suma de términos finitos es siempre finita.