El producto de dos funciones integrables de Riemann es integrable

Question

El objetivo es demostrar que el producto de dos funciones integrables de Riemann es integrable.

El primer paso es utilizar la identidad $f\cdot g = \frac{1}{4} \left[(f+g)^2 - (f-g)^2\right]$ de modo que sólo tengamos que considerar cuadrados de funciones.

El segundo paso es reducir a funciones de valor positivo porque $f(x)^2=\left|f(x)\right|^2$ .

El tercer paso es utilizar ese si $0 \leq f(x) \leq M$ en $\left[a,b\right]$ , $$f^2(x) - f^2(y) \leq 2M \left(\,f(x)-f(y)\right)$$

¿Qué debo hacer para aplicar estas medidas?

Answer 1

No es un problema que yo asignaría como deberes (al menos, no sin una orientación sustancial). Se trata más bien de uno de los resultados fundamentales de la asignatura -la asignatura es cálculo avanzado / análisis real elemental- y, como tal, esperaría que cualquier instructor / libro de texto proporcionara una demostración. Por ejemplo, el libro de Rudin Principios del análisis matemático cubre esto. O consulte, por ejemplo, el capítulo sobre integración aquí .

Como dice Robin, el resultado también se deduce del criterio de Lebesgue de integrabilidad de Riemann: ahora que 's algo - me refiero a la deducción del Criterio de Lebesgue, ¡no la prueba del Criterio de Lebesgue! -- Lo dejo como ejercicio, ya que encontrar este breve argumento por uno mismo ayuda a comprender el poder del criterio de Lebesgue.

Answer 2

Esto se deduce de la caracterización de Lebesgue de las funciones integrables de Riemann como funciones acotadas continuas fuera de un conjunto de medida cero de Lebesgue. Esta caracterización suele ser la forma más rápida de decidir sobre la integrabilidad de Riemann de una función.

Answer 3

En aras de la exhaustividad, demostraré la afirmación de un modo más elemental. Empecemos por demostrar que $f^2$ es Riemann -integrable:

Sabemos que $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ es Riemann -integrable por lo que se deduce que $|f|$ es Riemann -integrable también. Sostiene que $|f|^2=f^2$ por lo que si $\int\limits_a^b f(x)^2dx $ existe entonces tenemos la igualdad $\int\limits_a^b |f(x)|^2dx =\int\limits_a^b f(x)^2dx$ .

En $|f|$ es Riemann -integrable (y por tanto acotada) se deduce que para una $\epsilon>0$ existe una partición $P:=\{t_0,t_1\cdots, t_n\}$ de $[a,b]$ tal que:

$$ \sum\limits_{i=1}^{n}(M_i-m_i)(t_i-t_{i-1})<\frac{\epsilon}{2\sup(|f|)},\\ \text{where } M_i:=\sup\{|f(x)|\mid x\in[t_{i-1},t_i]\}\\ \text{and } m_i:=\inf\{|f(x)|\mid x\in[t_{i-1},t_i]\}. $$

Desde $|f([a,b])|\geq 0$ sabemos que $\sup(|f|^2)=\sup(|f|)^2$ y $\inf(|f|^2)=\inf(|f|)^2$ respectivamente.

Utilizamos estos resultados para dar un límite superior de la diferencia del Darboux -suma de $f^2$ :

$$ \sum\limits_{i=1}^{n}(M'_i-m'_i)(t_i-t_{i-1})=\sum\limits_{i=1}^{n}(M_i^2-m_i^2)(t_i-t_{i-1})=\sum\limits_{i=1}^{n}(M_i-m_i)(M_i+m_i)(t_i-t_{i-1})\\ \leq 2\sup(|f|)\sum\limits_{i=1}^{n}(M_i-m_i)(t_i-t_{i-1})<2\sup(|f|)\frac{\epsilon}{2\sup(|f|)}=\epsilon\\ \text{where } M'_i:=\sup\{f(x)^2\mid x\in[t_{i-1},t_i]\}\\ \text{and } m'_i:=\inf\{f(x)^2\mid x\in[t_{i-1},t_i]\}. $$

Esto demuestra que $f^2$ es Riemann -integrable. Aplicando las reglas ordinarias de Riemann -integrables (en relación con la adición de funciones y la multiplicación de factores) y la sugerencia de que $fg=\frac{1}{4}((f+g)^2-(f-g)^2)$ se ve inmediatamente que $fg$ es Riemann -integrable.

Answer 4

Para una demostración más elemental, se puede demostrar que si $f$ es Riemann-integrable en $[a,b]$ con $m\leq f(x)\leq M$ y $\phi:[m,M]\rightarrow\Bbb R$ es una función continua, entonces $\phi\circ f$ es Riemann-integrable en $[a,b]$ .

En particular, si $\phi=(x\mapsto x^2)$ y $f$ es Riemann-integrable en $[a,b]$ obtendremos que $f^2$ es Riemann-integrable en $[a,b]$ y eso te lleva a donde quieres ir.

Como se trata de una pregunta bastante antigua y las respuestas existentes son indirectas, seré bastante conciso en el esbozo de esta prueba y dejaré que los interesados completen los detalles.

• Quieres usar el hecho de que una función continua en un intervalo cerrado es...
• Recordemos que una función es Riemann-integrable en un intervalo $[a,b]$ sólo si para todo $\epsilon>0$ hay una partición $P$ de $[a,b]$ tal que $U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$ .
• Querrás dividir la partición subyacente del intervalo $[a,b]$ que estás usando en dos conjuntos. Un conjunto utilizará el hecho de que $\phi$ es ..., y el otro conjunto utilizará el hecho de que $\phi$ está acotado y $f$ es Riemann-integrable.