Combinatoria: Número posible de 10-tarjeta de manos de superdeck (10 veces 52 cartas)

Question

Tengo el siguiente problema desde el libro "Introducción a la Probabilidad", pág.32

Una cierta casino utiliza el 10 barajas de cartas mezcladas en una gran terraza, que vamos a llamar a un superdeck. Por lo tanto, la superdeck tiene 52 · 10 = 520 tarjetas, con 10 copias de cada tarjeta. Cuántos diferentes 10-tarjeta de las manos pueden ser tratados de la superdeck? El el orden de las cartas no importa, no importa cual de los 10 originales cubiertas las tarjetas de vino. Exprese su respuesta como un coeficiente binomial. Sugerencia: Bose-Einstein.

Mi solución:

Debido a que el número de cartas de cada tipo en el superdeck (10) no es menor que el tamaño de la mano (10), y por lo tanto no limitante, es el mismo que el muestreo con reemplazo, donde el orden no importa, por lo que el número de posibles 10-tarjeta manos serían $\binom{52+10-1}{10}$.

Es mi pensamiento correcto?

Answer 1

Su razonamiento no era tan evidente para mí al principio, así que me decidí a profundizar un poco y lo que primero que encontró fue una tabla con una entrada que está de acuerdo con su interpretación, pero entonces yo quería saber dónde multichoose fórmula viene de, y después de un tiempo me pareció útil esta explicación el uso de las barras y las estrellas enfoque.

En su caso, por ejemplo, podemos representar el $10$ cartas de la mano como "estrellas" y, a continuación, pondremos $52-1$ "bares" entre ellos para representar la idea de $52$ diferentes tipos de$^1$ de las tarjetas. Las estrellas que están a la izquierda de un bar son del mismo tipo. Entonces tenemos que tener cuidado con el caso extremo en el que todas las $10$ estrellas están a la izquierda de una barra, lo que significa que todas las $10$ tarjetas son todos del mismo tipo. Como usted y @JMoravitz señalado correctamente, esto es posible debido a que el tamaño de la mano no es mayor que la multiplicidad de cada tipo en el superdeck.

Bajo este enfoque podemos imaginar que tenemos un total de $52+10-1$ bandejas para colocar las estrellas y las barras, y entonces pregunta de cuántas maneras podemos colocar el $10$ estrellas de un total $52+10-1$ disponibilidad de contenedores. Ahora la respuesta es más evidente para mí, en

$$\binom{52+10-1}{10}$$

maneras. Una vez que las estrellas sólo hay una manera de poner las barras, ya que el orden no importa.

EDIT: me preguntaba por qué Bose-Einstein sería una sugerencia en el problema. Desde la perspectiva planteada en este vídeo, parece que este problema es similar a la de Bose-Eistein estadísticas en que podríamos pensamiento de la $10$ tarjetas (estrellas) en la mano como indistinguibles de las partículas y el $52^*$ tipos de cartas en una baraja como de energía de los estados en donde aquellas partículas podrían condensado (no me malinterpreten, no soy un físico cuántico). En cualquier caso, no está claro cómo sería una pista para resolver el problema...alguna sugerencia?

$^*$ Gracias a Michael respuesta que he entendido que el número de estados de energía es $52$ e no $52+10-1$, como originalmente escribí en mi edición...aunque aún parece un lugar sofisticado sugerencia para mí.

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$^1$ Aquí el tipo de tarjeta es su rango y palo.

Answer 2

Sólo para abordar el "Bose-Einstein" sugerencia: en la física cuántica, un conjunto de partículas se dijo a obedecer Bose-Einstein estadísticas cuando son físicamente indistinguibles (de modo que no hay manera, ni siquiera en principio, para distinguirlos); y múltiples partículas pueden estar en el mismo estado. Un "Estado" es bastante amplio concepto en la física, pero usted puede pensar en estos estados como los niveles de energía en un átomo. El otro concepto es la de Fermi-Dirac estadísticas, en el que las partículas son indistinguibles y sólo puede tener una de las partículas en cada estado. El más conocido de la partícula que obedece Bose-Einstein estadísticas es el fotón; el más conocido de partículas que obedecen a Fermi-Dirac estadísticas son los electrones, protones y neutrones.

El "superdeck" problema que se plantea entonces es el mismo que el siguiente problema: Un sistema de 10 partículas (es decir, las cartas en la mano) obedeciendo Bose-Einstein de estadísticas en un sistema con 52 distinta de una partícula estados (es decir, tipos de cartas en una baraja estándar.) ¿Cuál es el número de estados distinguibles del sistema colectivo? La respuesta se puede encontrar imaginando la partición de las diez de partículas de entre los 52 una de las partículas de los estados, y diciendo que sólo nos preocupamos por el número de partículas en cada una de las partículas del estado. Esto entonces se convierte en un estándar de las bolas y las paredes del problema", con la respuesta de ${61 \choose 10} = 90 177 170 226$ como se encontró.