Un anillo conmutativo $R$ se reduce si $r^2=0 \Rightarrow r=0$ es válido para $r \in R$ . Los anillos conmutativos son precisamente los objetos del álgebra conmutativa en la categoría monoidal simétrica $(\mathsf{Ab},\otimes)$ . Esto nos lleva a la siguiente pregunta: ¿Se ha estudiado alguna noción de "objetos de álgebra conmutativa reducida" para categorías monoidales simétricas lineales generales (quizás con algunas propiedades adicionales)?
Me gustaría exigir que esta noción sea naturalmente definible en el lenguaje de las categorías monoidales simétricas lineales. (En particular, decir que un espacio anillado o apilado inducido es reducido no sería una respuesta). Idealmente también debería ser de primer orden y constructiva; esto descarta la condición de que la intersección de los ideales primos sea cero.
Si $X$ es un espacio anillado bien comportado, entonces $\mathcal{O}_X$ debería resultar reducida según la noción categórica si y sólo si lo es en el sentido habitual, es decir, para todos los opens $U \subseteq X$ el anillo $\Gamma(U,\mathcal{O}_X)$ se reduce. Esto descarta la definición ingenua de que $R$ se reduce si $r^2=0 \Rightarrow r=0$ es válida para los morfismos $r : 1 \to R$ . Obsérvese también que para morfismos arbitrarios $r : T \to R$ (sustituyendo $r^2$ por $r \otimes r$ ) la propiedad sería demasiado fuerte. Si no existe tal definición, me pregunto qué estructura adicional necesitamos para darla. Presumiblemente, $\mathsf{Ab}$ tiene esta estructura adicional.
Una idea sería definir $R$ reducido si para todos los objetos invertibles $\mathcal{L}$ y todos los morfismos $r : \mathcal{L} \to R$ con $r \otimes r = 0$ tenemos $r=0$ . Pero esto probablemente sólo da la respuesta correcta para espacios anillados donde hay suficientes objetos invertibles.
