Cuál es la longitud lateral del cuadrado más pequeño que puede incrustar un polígono regular de 2*n lados, donde n es impar y n≥3.

Question

Estoy intentando resolver problema . He demostrado que la longitud lateral mínima debe ser mayor o igual que el radio de la circunferencia del polígono regular dado (por contradicción). Pero no soy capaz de encontrar lo que es el límite inferior apretado para ello. Tengo curiosidad por saber si alguna fórmula se puede formar para este problema o es neccessary utilizar construcciones de programación como bucles. Por favor, comparta sus enfoques para esto.

Answer 1

Sea $N = 2n$ donde $n \ge 3$ es impar.

Digamos que tenemos un $N$ -gon con circunradio $R = 1$ que caben dentro de un cuadrado de lado $s$ . Elige un sistema de coordenadas donde el circuncentro sea el origen y los lados del cuadrado sean paralelos a los ejes de coordenadas. Reflejar todo al revés si es necesario, se puede encontrar un $\theta \in [ 0, \frac{\pi}{N} ]$ de modo que uno de los vértices del $N$ -gon se encuentra en $(\cos\theta,\sin\theta)$ .

En términos de $\theta$ los vértices del $N$ -gon estará situado en $(\cos\theta_k,\sin\theta_k)$ donde $\theta_k = \theta + \frac{2\pi k}{N}$ para $k = 0,\ldots, N - 1$ . Para que el $N$ -gon para caber dentro de un cuadrado de lado $s$ . La sombra cuando proyectamos el $N$ -gon to $x$ - y $y$ - los ejes tendrán una anchura $\le s$ .

Está claro que la anchura de la sombra en $x$ -eje es $2\cos\theta$ .

La sombra sobre $y$ -eje es $[-\sin\theta_k,\sin\theta_k]$ para $k = \lfloor \frac{N}{4}\rfloor = \frac{n-1}{2}$ . Esto conduce a

$$s \ge 2 \max\left( \cos\theta, \sin\left(\theta + \frac{\pi(n-1)}{2n}\right)\right) = 2\max\left(\cos\theta, \cos\left(\frac{\pi}{2n}-\theta\right)\right)$$ El mínimo en RHS se alcanza cuando $\theta = \frac{\pi}{2n} - \theta \iff \theta = \frac{\pi}{4n}$ . Esto conduce a $$s \ge 2\cos\frac{\pi}{4n}$$

En $\theta =\frac{\pi}{4n}$ , es fácil ver cómo encajar el $N$ -gon en un cuadrado de lado $2\cos\frac{\pi}{4n}$ . De esto, podemos podemos deducir:

El cuadrado más pequeño que contiene un $N$ -gon con circunradio $R$ tiene lado $2R\cos\frac{\pi}{4n}$ .

Por ejemplo, para $n = 3$ podemos encajar un hexágono de circunferencia unitaria en un cuadrado de $2\cos\frac{\pi}{12} \approx 1.931851652578137$