Derivada de un vector dividida por su norma respecto a un parámetro

Question

Digamos que tenemos el vector $V(\theta)=[-2\theta \hspace{0.2cm} \theta^2 \hspace{0.2cm} \theta^3]^T$ y los elementos de $V$ son funciones diferenciables de $\theta$ y La norma del vector $V$ igual a $\|V(\theta)\| = \sqrt{(-2\theta)^2 + (\theta^2)^2 + (\theta^3)^2}$ .

¿Existe una expresión directa de la derivada de la siguiente fórmula respecto al parámetro $\theta$ :

$$\frac{\partial}{\partial \theta} \left (\frac{V(\theta)}{\|V(\theta)\|} \right)$$

Answer 1

Sea $\,\lambda=\|v\|\,\,$ denota la longitud del vector, y halla su diferencial $$\eqalign{ \lambda^2 &= v^Tv \cr 2\lambda\,d\lambda &= 2v^Tdv \implies d\lambda=\frac{v^Tdv}{\lambda} \cr }$$ Expresar el vector unitario en términos de $\lambda$ y hallar su diferencial y su derivada $$\eqalign{ s &= \frac{v}{\lambda} \cr\cr ds &= \frac{\lambda\,dv-v\,d\lambda}{\lambda^2} \cr &= \frac{1}{\lambda}(dv-ss^Tdv) \cr &= \frac{1}{\lambda}(I-ss^T)\,dv \cr\cr \frac{ds}{d\theta} &= \Big(\frac{I-ss^T}{\lambda}\Big)\,\frac{dv}{d\theta} \cr }$$