¿Por qué los primos de este operador son los primos de Sophie Germain?

Question

Buscaba un operador binario en natural que sea intermedio entre la suma y el producto, y exploré este candidato natural candidato:

$$x \star y = \lceil (x y + x + y)/2 \rceil \;.$$

Entonces me pregunté qué números son primos con respecto a $\star$ , es decir, sólo tienen una factorización. Por ejemplo, $11 = 1 \star 10$ es primo pero $13 = 1 \star 12 = 2 \star 8$ no lo es. El cálculo de estos $\star$ -primas, encontré que comienzan:

$$ 2,3,5,11,23,29,41,53,83,89,113,131,173,179,191, \ldots $$

Traté de demostrar que había un número infinito de $\star$ -primas, pero entonces descubrí que mis primos son precisamente los _Primas Sophie Germain_ (primos $p$ tal que $2p+1$ también es primo), y se desconoce si hay un número infinito de ellos.

Dos preguntas:

Q1 . ¿Por qué los $\star$ - ¿son precisamente los primos de Sophie Germain?

Veo que factorizar $xy + x + y$ a $(x+1)(y+1)-1$ revela la conexión, pero mi argumento para si no es preciso. (Por cierto, no se puede ignorar el techo: sustituir el techo por el suelo da como resultado "primos").

Q2 . ¿Es posible expresar el número de $\star$ - de $n$ i una mezcla del número de divisores $\tau(n)$ y el número de particiones $p(n)$ ?

Por ejemplo, aquí están los factores de $n=40$ : $$(1 \star 39), (2 \star 26), (3 \star 19), (4 \star 15), (7 \star 9), (8 \star 8) \;,$$ Y así 40 tiene 11 $\star$ -divisores: $1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 15, 19, 26, 39 \;.$

Etiqueto esto de recreativo porque estoy seguro de que esto es como comer ¡caramelos para muchos de vosotros! ¡Disfrutad del aperitivo!

Anexo . Por cierto, si $\star$ se define utilizando floor en lugar de techo, entonces el $\lfloor \star \rfloor$ -primes $>3$ son números pares $n$ tal que $n+1$ y $2n+1$ son (convencionalmente) primos. No sé si estos primos han sido nombrados, o si se sabe si hay un suministro infinito.

Answer 1

Q1. $p$ es $\star$ -si ecuación $xy+x+y=2p$ no tiene solución y $xy+x+y=2p-1$ tiene exactamente una solución, es decir $(x+1)(y+1)=2p+1$ no tiene solución (que lo es si $2p+1$ es primo) y $(x+1)(y+1)=2p$ sólo tiene una solución $\{x,y\}=\{1,p-1\}$ . Esto último se cumple si $p$ es primo.

Q2. ¿Por qué particiones? El número de $\star$ -divisores de $n$ es igual a $\tau(2n+1)+\tau(2n)-4$ .

Answer 2

En respuesta a su primera pregunta:

Como has insinuado, simplifica las cosas hacer el cambio de variable $x \mapsto x+1$ .

Entonces el producto se convierte en $x \star y = \lceil\frac{xy+1}{2}\rceil$ . Y queremos encontrar $z$ que no puede expresarse como $x \star y$ donde $x,y > 2$ .

Bueno, eso equivale a $z$ tal que no se puede resolver $2z=xy+1$ con $x,y>2$ y tampoco puedes resolver $2z-1=xy+1$ con $x,y>2$ .

La primera condición equivale a $2z-1$ siendo primo, ya que la imparidad de $2z-1$ hace que la restricción de $x$ y $y$ irrelevante.

La segunda condición equivale a $z-1$ siendo primo, ya que está diciendo que $2z-2=2(z-1)$ no tiene factorizaciones no triviales más allá de las dos obvias que implican el factor $2$ .

Por lo tanto, en general, vemos que $z$ primo en el nuevo sentido $\Leftrightarrow$ $z-1$ Sophie Germain prime. Cambiando de nuevo las variables, obtenemos la respuesta a la pregunta original.