Yo no soy capaz de probar que este conjunto es denso en $\mathbb{R}$. Estarán encantados si usted ayudar de una manera más fácil, $\{a+b\alpha: a,b\in \mathbb{Z}\}$ donde $\alpha\in\mathbb{Q}^c$ fijo es un irracional.
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dragoboy
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Ahora voy a probar un resultado general.
Reclamo: Cualquier aditivo subgrupo de $\mathbb{R}$ es discretas o denso en $\mathbb{R}$
Prueba: Supongamos $V$ ser un subgrupo discreto de $\mathbb{R}$. Así que hay un intervalo de la forma $(-a,+a)$ que contiene un número finito de puntos de $V$. Así que existe una $v\in V$ tal que $|v|\leq |x|$ todos los $x\in V$.
Así que ahora, $v\mathbb{Z} \subset V$. Supongamos que no existe$c\in V$, pero no en $v\mathbb{Z}$.A continuación, después de dividir la $c$ $v$ nos pondremos resto de pequeños mod valor de $v$. Lo que contradice la propiedad de $v$. Por eso, $V=v\mathbb{Z}$. Por lo tanto podemos decir que cualquier subgrupo discreto de $\mathbb{R}$ es de la forma $v\mathbb{Z}$.
Así que no discretos subgrupo es de la forma $\sum_{i=1}^{n} v_i \mathbb{Z}$. Ahora tenemos que demostrar que este es denso en $\mathbb{R}$.
Esto es equivalente a mostrar $\mathbb{Z}+\sum_{i=2}^{n} v_i\mathbb{Z}$ es densa. Y esta claro que sigue del resultado anterior, yo.e $\mathbb{Z}+\alpha \mathbb{Z}$ es denso en $\mathbb{R}$
dragoboy
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Considerando user29743 de la prueba, después de conseguir dos $i,j$ podemos decir que existen algunos $m\in\mathbb{Z}$ tal que $m-\frac{1}{n}<(i-j)\alpha=k\alpha <m+\frac{1}{n}$. Así que ahora podemos decir que para cualquier $n$ existe $m,k \in \mathbb{Z}$ tal que $|p-k\alpha|<\frac{1}{n}$. Ahora, básicamente,$n>k$. Así que a partir de aquí podemos concluir que existe una infinidad de $q$'s tal que $|\alpha-p/q|<1/q^2 \implies |q\alpha-p|<\frac{1}{q}$.
Ahora se nota como hay infinitamente muchos $q$ por lo que podemos decir de la partición de $a,2a,3a,....,[\frac{1}{a}]a$ cubre toda la $(0,1)$ con la longitud de cada parte de ser de menor tamaño suficiente, y cualquiera de $ia$ puede ser tomado como un término de la secuencia que desee. Así que alrededor de un balón de cualquier $r\in (0,1)$, se obtendrá un número infinito de términos, como consecuencia de su densa en $(0,1)$ $\mathbb{R}$
