Intento de prueba de la prueba de proporción para secuencias

Question

Estoy tratando de probar la prueba de proporción para secuencias. Esto es lo que tengo:

Si $ \lim \limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L < 1 $ y $ a_n>0 \;\ \forall n $ entonces $ a_n $ está limitada por debajo por $0$ . También hay $N$ de modo que para todos $n>N$ , $a_{n+1}<a_n $ . Por lo tanto, la secuencia es decreciente y acotada por debajo por lo que debe converger.

Ahora, de acuerdo con la prueba, $ \lim \limits_{n \to \infty} a_n = 0 $ . ¿Por qué?

Answer 1

Si observamos que el enunciado límite es formalmente que para cualquier $\epsilon>0$ podemos seleccionar $N$ de modo que para $n>N$ tenemos

$$\left|{a_{n+1}\over a_n}-L\right|<\epsilon$$

pero entonces vemos, multiplicando ambos lados por $a_n>0$ que

$$\left|a_{n+1}-La_n\right|<\epsilon a_n$$

entonces tenemos $a_{n+1}-La_n<\epsilon a_n\implies a_{n+1}<(L+\epsilon)a_n$

elija $0<\epsilon <(1-L)$ --esto es positivo ya que $0<L<1$ . Entonces $L+\epsilon <1$ y vemos entonces que

$$0<a_{n+m}<(L+\epsilon)^ma_n$$

y como $m\to\infty$ tenemos $a_{n+m}\to 0$ por el teorema del estrujamiento.