¿Es cierto que existe $n \in \mathbb{N}$ con un número arbitrario de factores primos tales que $n$ divide $F_n$ donde $F_n$ representa la n-ésima Número de Fibonacci ?
Respuesta
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Tenga en cuenta que (véase aquí ):
- Si $a$ y $b$ están en su secuencia, entonces también lo está $\text{lcm}(a,b)$ ;
- Si $n$ está en la secuencia, entonces también lo está $F_n$ .
Ahora toma cualquier $n>12$ que pertenece a la secuencia, entonces $a_1=\text{lcm}(n,F_n)$ , $a_2=\text{lcm}(n,F_n,F_{F_n})$ etc. Cada uno de $n$ , $F_n$ , $F_{F_n}$ ... pertenece a la secuencia por el segundo hecho. Sus múltiplos mínimos comunes sucesivos también lo hacen por el primer hecho. Además, se tiene $\omega(a_k) \geq k-1+\omega(n)$ por el teorema de Carmichael lo que responde afirmativamente a su pregunta.
Una versión más desafiante en la que aún no había pensado podría ser: para la que $n \in \mathbb N$ ¿existe un $N$ en la secuencia tal que $\omega(N)=n$ ?
