Interesante $0, 1$ secuencia de números, después de $n>2, a_n$ es compuesto.

Question

Tengamos una secuencia finita con sólo $0$ y $1$ dígito en nuestros números(puede empezar por $0$ también). $a_n$ es el número, que obtenemos si escribimos nuestro número $n$ veces uno al lado del otro. Demuestra que si $n>2$ nuestros números son compuestos.

Es bastante difícil de entender, he aquí algunos ejemplos. Tengamos el $01$ secuencia, entonces:

$a_1=1, a_2=101, a_3=10101...$ (el 0 del principio no cuenta, se puede ver que $a_3$ no puede ser un primo)

Si tenemos la $101$ secuencia, entonces:

$a_1=101, a_2=101101...$

¿Cómo puedo demostrarlo en general? Parece difícil, pero tal vez hay una buena táctica? :) Gracias.

Answer 1

Así que para la secuencia 101, esto es obvio como $101|a_n$ para todos $n$ .

El mismo razonamiento bastará para cualquier secuencia que empiece por 1 (por ejemplo: $10001$ etc.)

Si su secuencia comienza por 0, como la secuencia 01 mencionada, comienza con una secuencia truncada debido a que se ignoran los ceros iniciales en $a_1$ por lo que el mismo razonamiento no funcionará.

Sea $s=0\ldots1\ldots$ denotan su cadena de longitud $N$ donde la primera $n$ dígitos son 0. let $r=1\ldots$ es la cadena reducida obtenida al suprimir el $n$ 0 iniciales de $s$ Así que $r$ es de longitud $N-n$ .

Si $r \neq 1$ entonces $a_2 = rs= r0\ldots0r$ es divisible por $r$ y esta misma idea funciona inductivamente para $a_n$ .

Para $r=1$ entonces esto parece más sutil. Voy a editar cuando me doy cuenta.

Answer 2

Si la secuencia finita tiene longitud $l$ entonces $a_n$ es divisible por $1 + 10^l + 10^{2l} + \cdots + 10^{(n-1)l}$

Así que la pregunta se reduce a "¿es $1 + 10^l + 10^{2l} + \cdots + 10^{(n-1)l}$ compuesto?"

Tenemos $(1 + 10^l + 10^{2l} + \cdots + 10^{(n-1)l})(10^l - 1) = (1+10^n+10^{2n}+ \cdots +10^{(l-1)n})(10^n - 1)$

Así, si $l>1, n>l$ , dejando $d = \gcd(10^n - 1, 10^l - 1)$ tenemos $10^n-1 \over d$ divide $1 + 10^l + 10^{2l} + \cdots + 10^{(n-1)l}$

Esto demuestra que $a_n$ es finalmente compuesta para cualquier secuencia inicial distinta de $1$ .

Si la secuencia inicial es uno, la pregunta es "¿es $1\cdots11$ compuesto?"

La respuesta es: no necesariamente. Véase http://oeis.org/A004023 . Este tema ya se ha tratado en math.se en ¿Cuándo es el número 11111....1 un número primo? .