Supongamos que $X$ y $Y$ son variables aleatorias con función de masa de probabilidad conjunta, $$f(x,y)=\begin{cases}.1&&x=-1,y=1\\.3&&x=-1, y=-1\\.2&&x=1,y=1\\.4&&x=1,y=-1\end{cases}$$
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Compute $f(y) = \mathbb{E}[X|Y=y]$ .
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Compute $\mathbb{E}[X]$ utilizando la pmf marginal y luego utilizando la ley de la expectativa iterada. ¿Concuerdan los resultados?
Para 1), hice $$\mathbb{E}[X|Y=y]=\begin{cases}0.333 &&y=1 \\0.143 && y=-1\end{cases}$$
Pero no estoy seguro de por qué la pmf de y se encuentra calculando la expectativa de X.
Para 2), para calcular utilizando pmf marginal, hice $$\mathbb{E}[X]=\sum_{x}xp(x)=(1)(0.6)+(-1)(0.4)=0.2$$
y para calcular por expresión iterada, hice lo mismo en 2) y sumé las expectativas.
$$\mathbb{E}[X]=\mathbb{E}[X|Y=1]+\mathbb{E}[X|Y=-1]\\=[(-1)(\frac{0.1}{0.3})+(1)(\frac{0.2}{0.3})]+[(-1)(\frac{0.3}{0.7})+(1)(\frac{0.4}{0.7})]\\=0.476$$
Pero no entiendo por qué los resultados no coinciden y qué ha fallado en los dos enfoques.
