Encontrar una solución particular de $\,\,y''+3y'+2y=\exp(\mathrm{e}^x)$

Question

Ya he resuelto la homogénea, pero sigo buscando la solución particular de la ecuación diferencial:

$$y''+3y'+2y=\exp(\mathrm{e}^x)$$

Las soluciones homogéneas de este sistema son $\mathrm{e}^{-x}$ y $\mathrm{e}^{-2x}$ . He probado la sustitución

$$y_p(x)=v(x)\mathrm{e}^{-2x},$$ que dio lugar a la ecuación diferencial:

$$v''+v'=\exp(\mathrm{e}^x+2x),$$

Después reduje el pedido en $p=v'$ que da:

$$p'+p=\exp(\mathrm{e}^x+2x).$$

Ahora bien, esta ecuación sigue pareciendo difícil de resolver. Me preguntaba si hay sustituciones más fáciles / mejores que hacer ?

Answer 1

En primer lugar, observamos que $$ y=\frac{1}{(n+1)(n+2)}\mathrm{e}^{nx}, $$ es una solución particular de $$ y''+3y'+2y=\mathrm{e}^{nx}. $$ Por lo tanto $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)(n+2)n!}\mathrm{e}^{nx}=\mathrm{e}^{-2x}\left(\exp(\mathrm{e}^x)-1-\mathrm{e}^x\right) $$ es una solución particular de $$ y''+3y'+2y=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\mathrm{e}^{nx}=\exp(\mathrm{e}^x). $$

Nota. Sin embargo, si se quiere ser riguroso, lo correcto sería realizar una verificación.

Answer 2

Esta solución puede llevar más tiempo, pero puede funcionar.

Podemos utilizar un método llamado variación de parámetros.

Si tomamos nuestro polinomio característico:

$$y_c(t) = r^2+3r+2 = (r+2)(r+1)$$

Ahora tenemos que nuestra solución complementaria es:

$$y_c(t) = c_1e^{-2t} + c_2e^{-t}$$

Ahora nuestra solución a esta ecuación es $e^{-2t}$ y $e^{-t}$

Podemos usar esto para encontrar nuestro Wronskian

$$W = \begin{vmatrix}e^{-2t} &e^{-t} \\ -2e^{-2t} & -e^{-t} \end{vmatrix} = -e^{-3t}+2e^{-3t} = e^{-3t}$$

Ahora podemos encontrar nuestra solución particular.

$$y_p(t) = -e^{-2t}\int\frac{e^{-t}e^{e^t}}{e^{-3t}}dt + e^{-t}\int\frac{e^{-2t}e^{e^t}}{e^{-3t}}dt$$

Resolviendo esto obtendrás la solución particular.

EDITAR

Resolviendo para el particular obtenemos

$$y_p(t) = -e^{-2t}\left(e^{e^t}(e^{t}-1)\right) + e^{-t}e^{e^t}$$ $$y_p(t) = -e^{-2t}(e^{e^t}e^{t}-e^{e^t}) + e^{-t}e^{e^t} = e^{-2t}e^{e^t}$$

Si necesitas la solución general, suma la complementaria y la particular.

Answer 3

Creo que el comentario de Claude es correcto y esa ecuación diferencial no es bonita. Así que voy a intentar un enfoque diferente, tratando de resolver para la solución general.

Dado que el polinomio característico es $(s+2)(s+1)$ parece integrar factores de $e^x$ o $e^{2x}$ funcionará. $e^x$ facilitará la integración. Así que dejamos que

$$z=y'+2y$$ $$y''+3y'+2y=(y'+2y)'+y'+2y=z'+z=e^{e^x}$$ $$e^xz'+e^xz=(e^xz)'=e^xe^{e^x}$$ $$e^xz=e^{e^x}+k_1$$ $$e^x(y'+2y)=e^{e^x}+k_1$$ $$e^{2x}(y'+2y)=(e^{2x}y)'=e^xe^{e^x}+k_1e^x$$ $$e^{2x}y=e^{e^x}+k_1e^x+k_2$$ $$y=e^{e^x-2x}+k_1e^{-x}+k_2e^{-2x}$$