Demuestre que la función no es continua en ninguna parte

Question

Estoy tratando de probar que una función específica $f$ no es continua para cualquier $x_0$ para la que está definida. Esto es lo que tengo hasta ahora. Que

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{rl} -1 & \textrm{ if $x$ is irrational}\\ 1 & \textrm{ if $x$ is rational} \end{array} \right.$$ Afirmo que $f$ no es continua en ninguna parte. Supongamos que $a$ es un número irracional. Por contradicción, supongamos que $f$ es continua en $a$ . Por definición, se deduce que dado $\epsilon >0$ existe $\delta > 0 $ tal que $|f(x)+1|<\epsilon$ si $0|x-a|<\delta.$ Entonces, tenemos que $$|f(x)+1| = |-1+1| = 0 < \epsilon$$ si $x$ es irracional y $$|f(x)+1|=|1+1|=2<\epsilon$$ si $x$ es racional. Así, tenemos que $\delta > 0$ y $\delta > 2$ .

$\textbf{Now this is where I am stuck}. $ ¿Estoy actuando correctamente? Gracias.

Answer 1

Pistas:

Debe conocer los hechos que $\Bbb Q$ y $\Bbb R\setminus \Bbb Q$ es denso en $\Bbb R$ respectivamente.

Supongamos $x \in \Bbb R \setminus \Bbb Q$ entonces existe una secuencia $\{x_n: x_n\in \Bbb Q\}$ que converge $x$ . Claramente, $f(x)=-1\not=1=\lim_{n\to \infty}f(x_n)$ .

El otro caso es similar.

Answer 2

Pistas: Para demostrar que $f(x)$ no es continua en $a$ sólo tiene que demostrar que $\exists \varepsilon_0 > 0$ tal que $\forall\delta>0$ siempre existe $x_0$ con $|x_0-a|<\delta$ pero $|f(x_0) - f(a)|\geq\varepsilon_0$ . Aquí podemos tomar $\varepsilon_0 = 1$ cuando $a$ es irracional, siempre existe un número racional $x_0$ en el intervalo $(a-\delta,a+\delta)$ para cualquier $\delta>0$ pero $|f(x_0) - f(a)| = 2 > \varepsilon_0$ . Similar cuando $a$ es racional. Espero que esto ayude.

Answer 3

Prefiero utilizar la definición de $f$ no continua en $a\in R$ que es la negación de la definición de continuo.

$f$ no es continua en $a\in R$ significa existir $\epsilon>0$ tal que para todo $\delta>0$ podemos encontrar $x$ satisface $|x-a|<\delta$ y $|f(x)-f(a)|\geq \epsilon$ .

Para su función tome $\epsilon=2$ Utiliza el hecho de que todo intervalo contiene números racionales e irracionales.