¿volumen de región en un simplex de probabilidad con entropía de shannon > c?

Question

Sea $S_n = \{(p_1, \cdots, p_n)| p_i\geq 0, \sum_{i=1}^n p_i = 1\}$ . Es decir $S_n$ es un $n-1$ -simple. Sea $$ E(p_1, \cdots, p_n) = -\sum_{i=1}^n p_i\ln p_i $$ sea la entropía de Shannon.

Estoy atascado con la pregunta, ¿cuál es el $n-1$ -Volumen de $\{(p_1, \cdots, p_n)\in S_n \mid E(p_1, \cdots, p_n)>a\}$ ?

Quiero decir que estoy interesado en integral $$ \int_{X}dV $$ donde $X= \{(p_1, \cdots, p_{n-1}) \mid p_i\geq 0, p_n = 1-\sum_{i=1}^{n-1}p_i\geq 0, E(p_1, \cdots, p_n)>a\}\subset {\mathbb R}^{n-1}$

Cualquier límite no trivial también es interesante.

Answer 1

Sólo algunos valores de la simulación numérica. El eje horizontal es la entropía (en nats), y el eje vertical es el volumen normalizado.

La entropía tiende a concentrarse alrededor de la media, que viene dada por

$$ e(n)=\psi_0(n+1) + \gamma -1 \approx \log n -0.423 +\frac{1}{2n} $$

donde $\psi_0$ es el función digamma .