¿La función de onda de las partículas en el interior de un gas está dispersa o localizada?

Question

Para una partícula libre individual que comienza localizada, el paquete de función de onda se propaga con el tiempo, por lo que la partícula se vuelve menos localizada. Supongamos ahora que tenemos un gas de esas partículas dentro de una caja, y permitimos que colisionen (usando algún potencial): ¿seguirá extendiéndose indefinidamente la función de onda de cada partícula, o las colisiones actúan como una fuente de decoherencia y la función de onda se relocaliza de nuevo? He oído ambos argumentos por diferentes colegas, incluso en libros de texto. ¿Alguien ha hecho una simulación por ordenador que muestre cuál sería la mejor imagen?

Answer 1

Preliminares: ¿Cómo definimos "localizado"?

Para una sola partícula, o para múltiples partículas no enredadas, es fácil saber a partir de las expresiones de las funciones de onda si están localizadas o deslocalizadas. Por ejemplo, se podría decir que si la función de onda cae exponencialmente o más rápido para grandes $x$ es decir, con una forma como $\psi(x)\sim e^{-x/\xi}$ con alguna escala de longitud característica $\xi$ entonces está localizada, mientras que algo como una onda plana (que puede considerarse en el $\xi \rightarrow \infty$ límite) está deslocalizada.

Para las partículas que interactúan, el estado cuántico de muchos cuerpos evolucionará genéricamente hacia algo que está enredado entre la partícula. Entonces ya no existe una función de onda para una partícula individual, y la cuestión de la localización ya no es tan sencilla. Por ejemplo, ¿es el estado de dos partículas $\psi(x_1,x_2)\sim e^{-(x_1-x_2)^2}$ ¿localizado o deslocalizado?

Una forma estándar de generalizar esta idea de localizado/extendido a sistemas de muchos cuerpos es utilizando el concepto de entropía de entrelazamiento (1) y preguntarse si una región concreta está enredada con otra región distante del sistema. Para un sistema unidimensional, la entropía de enredo es:

$S(\rho_A)=-\text{Tr}[\rho_A \log \rho_A]$ con $\rho_A$ la matriz de densidad reducida para ese sistema:

$$\rho_A(x_1,x_2,\ldots x_N,x'_1,x'_2,\ldots x'_N)=\int_{|x_i|>x_0} \int_{|x'_i|>x_0} ~\mathrm dx_1 \ldots \mathrm dx_N~\mathrm dx'_1 \ldots \mathrm dx'_N ~\psi(x_1,\ldots, x_N) \psi^*(x'_1,\ldots, x'_N)$$

Aquí estamos viendo una región de $-x_0$ a $x_0$ . Si $S$ es exponencialmente pequeño, entonces el sistema está localizado, y si no lo está está extendido. Observa que hemos pasado de hablar de partículas a hablar de regiones. Esto es más natural cuando se piensa en la localización, pero para una densidad uniforme de partículas en un momento determinado la localización de una implica la de la otra.

El sentido de "localizado" que tenemos ahora es que para un sistema localizado, una medida en un punto no perturba el estado cuántico en un punto lejano. Utilizando esta norma, si se llevan a cabo los cálculos anteriores sobre un estado como el anterior de dos partículas, o un estado de onda plana de una sola partícula, se comprobará que tienen una entropía de entrelazamiento distinta de cero y que están extendidos. Sin embargo, un estado como $\psi(x_1,x_2)\sim e^{-(x_1/\xi)^2}e^{-((x_2-2x_0)/\xi)^2}$ estaría localizada, siempre que $x_0 \gg \xi$ .

Termalización del estado propio

Bien, con estas ideas ya puedo plantear la respuesta de forma sencilla: para un sistema cuántico de partículas en una caja que interactúan con una repulsión de cáscara dura, en un estado altamente excitado y límite diluido, y en equilibrio, la entropía de entrelazamiento es proporcional al volumen del sistema.

Lo que esto significa, a grandes rasgos, es que cada punto de la caja está igualmente enredado con cualquier otro punto. En este sentido, el sistema está extendido. La medición del estado cuántico en un punto también afectará al estado cuántico en todos los demás puntos.

La prueba de esto se debe básicamente a Srednecki, en un artículo fundacional de la termalización cuántica al que le animo a echar un vistazo (2) . Para el sistema anterior, Srednecki demuestra que los estados propios del sistema dan un comportamiento de las partículas que concuerda con la mecánica estadística de Maxwell-Boltzmann, y además que los sistemas que empiezan lejos del equilibrio (como el caso que mencionas en el que todo empieza localizado) también evolucionarán hacia un estado de equilibrio que obedece a estas predicciones. Además, trabajos posteriores han puesto de relieve que cualquier sistema que tenga esta propiedad de autoequilibrio, conocida como termalización del estado propio también mostrarán necesariamente una escala de volumen de la entropía de entrelazamiento (véase, por ejemplo, (3) ).

Decoherencia

Todo lo que he dicho hasta ahora ha sido sobre el estado cuántico puro, pero la gente suele hablar de este tipo de sistemas en términos de decoherencia. ¿Cuál es la relación?

Bueno, la decoherencia ocurre cuando el sistema de interés está enredado con muchos otros sistemas inaccesibles - y eso es claramente lo que ocurre aquí (4, 5) . Dado que cualquier parte del sistema está enredada con todas las demás, para un sistema de tamaño incluso moderado sería prácticamente imposible observar la coherencia entre las distintas partes. Esto significa que el sistema será funcionalmente indistinguible de un sistema sin coherencia, o simplemente un conjunto estadístico clásico. Este es el milagro del entrelazamiento: si hay suficiente, las cosas se simplifican en lugar de complicarse. Por eso las mediciones, que invariablemente producen algún estado de enredo complicado entre el sistema y el aparato, pueden, no obstante, dar lugar a la obtención de conocimiento.

Conclusión

Hay dos formas válidas de describir el estado de la caja de partículas en colisión después de mucho tiempo:

1. Se trata de un complejo estado entrelazado de muchos cuerpos en el que cada parte está igualmente entrelazada con todas las demás, pero de tal forma que reproduce los resultados estadísticos estándar (como la distribución de Maxwell-Boltzmann) para una medición de una sola partícula.
2. Debido a la gran cantidad de entrelazamiento, a efectos prácticos las partículas también pueden tratarse como partículas clásicas descifradas, en cuyo caso, por supuesto, tienen una posición y un momento bien definidos.

Ninguna de estas afirmaciones es incorrecta, y cada una podría ser útil en el contexto adecuado.

Answer 2

Realmente depende de las condiciones límite. Para condiciones de contorno como una caja 3D con paredes reflectantes, el estado cuántico inicial $\Psi$ permanecerá un estado cuántico con la función de onda única dependiendo de las variables de cada partícula: $$\Psi({\bf{r}}_1,...,{\bf{r}}_n, t).$$ Si las condiciones de contorno son tales que permiten el intercambio con el entorno, entonces el enfoque de la matriz de densidad puede resultar más apropiado.

En ambos casos, las posiciones de las partículas se predicen estadísticamente, pero en este último caso es posible que no se produzca el fenómeno de interferencia (o que éste sea menos pronunciado).

Considere su caso para un experimento de doble rendija sin y con mediciones de la posición de las partículas, mediciones antes de la pantalla.

Answer 3

Para resolver tu problema exactamente, tendrías que resolver la ecuación de Schrödinger

$$i \frac{\partial}{\partial t} \Psi (\vec r_1 \dots \vec r_N,t)= H \ \Psi(\vec r_1 \dots \vec r_N,t)$$

donde $\Psi (\vec r_1 \dots \vec r_N,t)$ es la función de onda del $N$ partículas y

$$H=\sum_i^N \frac{p_i^2}{2 m} + \sum_{i<j}^N u_{ij}+V_{\text{ext}}$$

donde $u_{ij}$ es un potencial de par y $V_{\text{ext}}$ es el potencial de caja. Por supuesto, también se necesita una condición inicial

$$\Psi (\vec r_1 \dots \vec r_N,0) = \tilde \Psi (\vec r_1 \dots \vec r_N)$$

Lo primero que debes notar es que es inapropiado hablar de "la función de onda de cada partícula", porque tienes que considerar la total función de onda del $N$ partículas ( $\Psi$ ). Si las partículas son indistinguibles, esta función debe poseer algunas simetrías, dependiendo del tipo de partículas que estemos considerando (bosones o fermiones).

Resulta realmente difícil resolver un problema de este tipo analítica o numéricamente. Un buen punto de partida para hacerse una idea cualitativa sería resolver las ecuaciones correspondientes a dos partículas y ver qué pasa.

Esto lo han hecho numéricamente los autores de este artículo utilizando un potencial gaussiano y uno cuadrado, con partículas distinguibles e indistinguibles. en este último caso, se consideraron funciones de onda simetrizadas (bosónicas) y antisimetrizadas (fermiónicas):

$$\Psi'(x_1,x_2) = \frac 1 {\sqrt{2}} [\Psi(x_1,x_2)\pm \Psi(x_2,x_1)]$$

La función de onda en $t=0$ se supone que es el producto de dos paquetes de ondas gaussianas:

$$\Psi(x_1,x_2, t=0) = g(x_1,x_1^0,k_1,\sigma) \ g(x_2,x_2^0,k_2,\sigma)$$

Dónde

$$g(x,x^0,k) = e^{i k x} e^{-\frac{(x-x^0)^2}{4 \sigma^2}}$$

y $k_2 = - k_1$ .

En el siguiente gráfico se puede ver, por ejemplo, el resultado de la colisión de dos partículas distinguibles con igual masa $m$ interactuando a través de un potencial cuadrado (las curvas son las densidades de probabilidad obtenidas por las funciones de onda):

Los números de las esquinas superiores izquierdas indican el tiempo (en unidades de $100 \times $ paso de tiempo) y los bordes de los marcos corresponden a las paredes de la caja.

Se puede observar que, efectivamente, hay una "dispersión" de los paquetes de ondas (para ser más precisos, de sus módulos al cuadrado, es decir, de las densidades de probabilidad) tras la colisión (cfr. 1 y 120).

Cita del artículo:

En la Fig. 5 mostramos nueve fotogramas de la película de una colisión repulsiva m-m en la que la energía cinética media es igual a un cuarto de la altura de la barrera. Se observa que los paquetes iniciales a medida que se acercan, su repulsión mutua se estrecha y aumenta el valor de la barrera. los paquetes hasta el momento (50) en que empiezan a rebotar. Los paquetes de ondas en todavía se observa que conservan su forma, con un ensanchamiento progresivo hasta que chocan con las paredes y se rompen. con las paredes y se rompen.

Answer 4

Los efectos cuánticos aparecen si se cumple la concentración de partículas, $$\frac{N}{V} \ge n_q$$ donde $N$ es el número de partículas, $V$ es el volumen, y $n_q$ es el concentración cuántica para la que la distancia entre partículas es igual a la longitud de onda térmica de de Broglie, de modo que las funciones de onda de las partículas apenas se superponen. Como la concentración cuántica depende de la temperatura, las temperaturas elevadas situarán a la mayoría de los sistemas en el límite clásico, a menos que tengan una densidad muy elevada, por ejemplo, una enana blanca o el Universo muy primitivo.

La naturaleza cuántica de la partícula se manifiesta en que los bosones obedecen a la estadística de Bose-Einstein y los fermiones a la estadística de Fermi-Dirac. Tanto la estadística de Fermi-Dirac como la de Bose-Einstein están bien aproximadas por la estadística clásica de Maxwell-Boltzmann a alta temperatura y baja concentración, donde los efectos cuánticos son despreciables.

Answer 5

El comportamiento de las moléculas en su experimento gedanken puede abordarse utilizando la decoherencia. Pero no creo que se pueda obtener una respuesta definitiva hasta que alguien haga una simulación a escala real (o hasta que la respuesta de algún experto pueda hacer una prueba formal de lo que realmente ocurre, pero yo no estoy capacitado para ello). Los efectos de decoherencia se pueden argumentar heurísticamente, pero tomando ese enfoque la respuesta que he encontrado es ambigua.

Por un lado, una molécula no está aislada, sino que interactúa con un entorno macroscópico (gas, radiación electromagnética, paredes). En la mayoría de los casos, este entorno reducirá el estado de enredo de la molécula y la hará colapsar aparentemente en una base preferida. La base preferida suele ser la base de posición, pero no siempre es así y depende de los detalles de la configuración.

Si la base preferida es la de posición, entonces la función de onda de las moléculas individuales no se extenderá durante demasiado tiempo, su interacción con el resto del entorno en el que se encuentra hará que las probabilidades se "colapsen" a un paquete más pequeño (como menciona P. Shor en el comentario, no puede ser un estado propio puro del operador de posición). Esta segunda opción parece más coherente con el hecho de que, una vez alcanzado el equilibrio termodinámico, las moléculas de gas satisfacen la estadística de Boltzmann de Maxwell.