Reducibilidad de un $\mathbb{R}[X]$ -módulo

Question

Sea $q \in \mathbb{R}[X]$ sea un polinomio irreducible de grado 2 y supongamos que $n > 1$ es un intiger. Mi pregunta es si el $\mathbb{R}[X]$ -módulo $\mathbb{R}[X] / (q^n)$ es reducible (es decir, tiene un $\mathbb{R}[X]$ -submódulo).

Si $q = X^2 + 1$ y $n = 2$ entonces el submódulo generado por $X^2 + 1$ tiene dimensión 2, por lo tanto es un submódulo propio, pero no consigo descifrar el caso general.

EDIT: Probablemente debería decir también que esto es claramente equivalente al siguiente hecho: Si $T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ no tiene valores propios, entonces existe un $T$ -plano invariante en $\mathbb{R}^n$ . Estoy más interesado en una razón "algebraica" de por qué esto es cierto

Answer 1

Sea $A$ sea un anillo conmutativo. El sub $A$ -módulos de $A$ son precisamente los ideales de $A$ . En particular, $A$ es irreducible si es un campo. Si $I$ es un ideal de $A$ los submódulos de $A/I$ corresponden a los ideales de $A$ que contienen $I$ . Así que $A/I$ es irreducible si $I$ es máxima.

Supongamos que $A$ es el dominio ideal principal, $a$ es un elemento irreducible, y $n$ es un número entero positivo. Entonces el sub $A$ -módulos de $A/(a^n)$ corresponden a los ideales $(a^i)$ , $0\le i\le n$ . En particular, $A/(a^n)$ es irreducible si $n=1$ .

EDITAR 1. Para la pregunta en su Editar: $\mathbb R^n$ es un $\mathbb R[T]$ -módulo. $\mathbb R[T]$ es isomorfo a $\mathbb R[X]/(f)$ donde $(f)$ es el polinomio mínimo de $T$ . Si $f=f_1^{m(1)}\cdots f_k^{m(k)}$ es la factorización de $f$ (el $f_i$ siendo el divisor irreducible distinto de $f$ ), entonces, por el Teorema Chino del Resto, $\mathbb R[X]/(f)$ es isomorfo al producto del $\mathbb R[X]/(f_i^{m(i)})$ . Esto responde a la pregunta. [Puedo darle más detalles si lo desea.]

EDITAR 2. He aquí una de las cosas que estaban implícitas en la Edición 1. Si su anillo $A$ es un producto $B\times C$ de los anillos $B$ y $C$ entonces un $A$ -módulo $M$ se da de forma "única" como producto $N\times P$ de un $B$ -módulo $N$ por un $C$ -módulo $P$ . Dado $M$ se define $N$ y por $N:=(1,0)M$ , $P:=(0,1)M$ . [Aquí "anillo" significa "anillo conmutativo"].