¿Por qué los polos de un tf no deberían estar en el RHP? Quiero decir que lo sé de una manera vaga, pero ¿cuál es la explicación/prueba? Gracias.
Respuestas
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Para que un sistema sea estable, los polos de la TF deben estar en la LHP. La RHP puede tener polos si el sistema no es estable.
No recuerdo la prueba del libro de texto. Pero la forma en que entendí se explica a continuación.
Consideremos una función de transferencia con dos polos. Uno en RHP ( \$p_1\$ ) y el otro en LHP ( \$-p_2\$ ). Entonces la función de transferencia será de la forma: $$\frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{A}{(s-p_1)(s+p_2)}$$
Suponiendo una entrada de paso unitario, \$x(t)= u(t),\$ la salida será $$Y(s) = \frac{A}{(s-p_1)(s+p_2)}\times \frac{1}{s}$$
Utilizando la fracción parcial, Y(s) puede escribirse como, $$Y(s) = \frac{A_1}{s-p_1} + \frac{A_2}{s+p_2} + \frac{A_3}{s}$$
Dónde \$A_1, A_2, A_3\$ son constantes. Tomando la inversa de Laplace,
$$y(t) = (A_1e^{p_1} + A_2e^{-p_2} + A_3)u(t)$$
El primer plazo \$A_1e^{p_1}\$ no tendrá límites, ya que \$t\rightarrow\infty\$ y también la salida. Pero la entrada sigue estando limitada. Por tanto, el sistema no es estable (véase Estabilidad de BIBO ).
La razón de la inestabilidad es la presencia de \$A_1e^{p_1}\$ en la salida al que contribuye el polo en RHP.
Conclusión: El polo en RHP puede contribuir a un término exponencialmente creciente en la salida del sistema que conducirá a la inestabilidad.
LvW
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Complementando la respuesta de nidhin, aprendemos de la teoría de sistemas que el denominador D(s) de la función de transferencia (dominio de la frecuencia) es idéntico al polinomio característico P(s) perteneciente a la solución de la ecuación dif. correspondiente (dominio del tiempo). Este polinomio característico resulta de un "Ansatz" exponencial [exp(s*t)] para resolver la ecuación dif.
Por lo tanto, D(s)=P(s), y la solución de la ecuación característica P(s)=0 es idéntica a los polos de la función de transferencia H(s).
Como ya ha mencionado nidhin, el parte real de los exponentes en las soluciones en el dominio del tiempo [exp(s*t)] debe ser NEGATIVO para sistemas estables (salida acotada para entrada acotada). Esto es idéntico al requisito de tener sólo polos en la mitad izquierda del plano s complejo.
