Rastro de AB = Rastro de BA

Question

Podemos definir la traza si $A =\sum_{i} \langle e_i, Ae_i\rangle$ donde $e_i$ son vectores columna estándar, y $\langle x, y\rangle =x^t y$ para vectores columna adecuados $x, y$ . Con esta configuración, quiero demostrar que las trazas de AB y BA son iguales, por lo que basta con demostrar que $$\sum_{i} \langle e_i, ABe_i\rangle =\sum_{i} \langle e_i, BAe_i\rangle$$ ¿pero cómo llegar a esa conclusión?

Answer 1

Por definición $$\begin{align}trace(AB) &= (AB)_{11}+(AB)_{22}+\cdots+(AB)_{nn}\\ &=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\cdots + a_{1k}b_{k1} \\ &+ a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+\cdots + a_{2k}b_{k2}\\ &+\vdots \\ &+a_{n1}b_{1n}+a_{n2}b_{2n}+\cdots + a_{nk}b_{kn}\end{align}$$ si se ve la suma según las columnas, entonces se ve que es la $trace(BA).$ por lo tanto, $$trace(AB) = trace(BA). $$

Answer 2

Escribamos la traza de una forma más cómoda. Tenemos: $$Ae_i = \begin{bmatrix}a_{11}&\cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{i1} \\ \vdots \\ a_{in}\end{bmatrix},$$ donde el $1$ está en el $i$ -ésima entrada. Así: $$ \langle e_i, Ae_i \rangle = e_i^tAe_i = a_{ii}.$$ Así que ${\rm tr}(A) = \sum_ia_{ii}$ . Ahora: $(AB)_{ij} = \sum_k a_{ik}b_{kj}$ y: $${\rm tr}(AB) = \sum_i \sum_k a_{ik}b_{ki}.$$ Por otro lado, $(BA)_{ij} = \sum_k b_{ik}a_{kj}$ . Así que..: $${\rm tr}(BA) = \sum_i \sum_kb_{ik}a_{ki}.$$ Son la misma cantidad, hasta el cambio de nombre de los índices ( $i \leftrightarrow k$ )

Answer 3

Aunque este no es el enfoque que te gustaría ver tal y como has planteado la pregunta, he pensado en añadir esto también.

$\mathrm{Tr}(AB) = \sum_{i=1}^n (AB)_{ii} = \sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n A_{jk}B_{kj}$

Ahora puedes manipular esa expresión para demostrar que es igual a $\mathrm{Tr}(BA)$ .